Вариационное исчисление, Экстремальные задачи, Моклячук М.П., 2019

Вариационное исчисление, Экстремальные задачи, Моклячук М.П., 2019.
 
   Изложена теория вариационного исчисления. Показано, как решаются классические задачи Лагранжа, Больца, изопериметрические задачи. Приведены основные положения теории оптимального управления, в основу которой положен принцип максимума Понтрягина, обобщающий принцип неопределенных множителей Лагранжа. С использованием принципа максимума и метода динамического программирования решены задачи Майера, Лагранжа, Больца. Среди этих задач, — в частности, задача о посадке космического аппарата на поверхность Луны, о запуске искусственного спутника Земли. Принцип максимума Понтрягина использован для анализа экономической модели Леонтьева.
Теоретический материал дополнен заданиями студентам, которые можно решать самостоятельно или на лабораторных занятиях. Сложные задачи можно использовать как темы курсовых и дипломных работ.
Для студентов университетов.




Задача о брахистохроне.
И. Бернулли в 1696 г. сформулировал такую задачу. Пусть в вертикальной плоскости заданы две точки А и В. Определить путь АМВ, двигаясь по которому под действием силы собственного веса, тело переместится из точки А в точку В за минимальное время.

Выберем в плоскости систему координат (х,у) так, чтобы ось X была горизонтальной, а ось У была направлена вниз. Будем считать, что точка А совпадает с началом координат, а точка В имеет координаты (х1,y1), x1 > 0, y1 > 0.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1. Экстремумы функций.
1. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами.
2. Экстремумы функции одной переменной.
3. Экстремумы функций п переменных.
4. Задачи на условный экстремум. Метод Лагранжа.
4.1. Задачи с ограничениями-равенствами.
4.2. Задача с равенствами и неравенствами.
Глава 2. Элементы анализа.
1. Линейные нормированные и банаховы пространства.
2. Теорема Хана-Банаха и её следствия.
3. Теоремы о разделении.
4. Теорема Банаха об обратном операторе.
Глава 3. Основы дифференциального исчисления.
1. Производные Гато, Фреше, строгая дифференцируемость.
2. Частные производные. Теорема о полном дифференциале.
3. Производные и дифференциалы высших порядков.
4.Интегрирование.
5. Формула Тейлора.
6. Теорема о неявной функции. Теорема Люстерника. 
7. Теорема Рисса. Формула Дирихле.
8. Задачи.
Глава 4. Условия экстремума функционалов.
1. Условия существования экстремума.
2. Необходимые и достаточные условия экстремума.
3. Задачи с ограничениями-равенствами.
4. Задачи выпуклого программирования.
5. Задачи с ограничениями-неравенствами.
6. Экономические интерпретации множителей Лагранжа.
7. Задачи.
Глава 5. Уравнение Эйлера и его обобщения.
1. Задача о брахистохроне.
2. Простейшая задача вариационного исчисления.
3. Интегралы уравнения Эйлера.
4. Векторнозначные функции.
5. Функционалы, зависящие от производных высшего порядка
6. Функционалы, зависящие от функций многих переменных
7. Задача Больца. Условия трансверсальности.
8. Задачи.
Глава 6. Каноническая форма уравнений Эйлера.
1. Инвариантность уравнений Эйлера и Остроградского.
2. Вариационные задачи в параметрической форме.
3. Каноническая (Гамильтонова) форма уравнений Эйлера.
4. Уравнение Гамильтона-Якоби.
5. Вариационные принципы механики.
6. Задачи.
Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами.
1. Задачи Больца и Лагранжа на множестве функций со свободными границами.
2. Задача Лагранжа на множестве функций с подвижными границами.
3. Задачи Больца на множестве функций с подвижными границами.
4. Задачи.
Глава 8. Ломаные экстремали.
I. Неособенные экстремали.
2. Условия Вейерштрасса-Эрдмана.
3. Задача об отражении экстремалей.
4. Задача о преломлении экстремалей.
5. Односторонние вариации.
6. Задачи.
Глава 9. Условия экстремума второго порядка.
1. Условие Лежандра.
2. Условие Якоби.
3. Достаточные условия слабого экстремума.
4. Необходимые и достаточные условия слабого экстремума функционала, зависящего от вектор-функций.
5. Условие Вейерштрасса. Игольчатые вариации.
6. Условия второго порядка в задаче Больца.
7. Условия экстремума второго порядка в задачах со старшими производными.
8. Задачи.
Глава 10. Изопериметрические задачи.
1. Задачи.
Глава 11. Задача Лагранжа.
1. Задача Лагранжа с неголономными связями.
2. Задача Лагранжа в форме Понтрягина.
3. Задача Лагранжа со свободными границами.
4. Задача Лагранжа па множестве функций с подвижными границами.
5. Правило неопределенных множителей Лагранжа.
6. Задачи.
Глава 12. Достаточные условия экстремума.
1. Поле экстремалей. Построение центрального поля.
2. 5-функция и ее дифференциал.
3. Основная формула Вейерштрасса.
4. Достаточные условия экстремума функционала простейшей задачи вариационного исчисления.
5. Достаточные условия экстремума функционала задачи со старшими производными.
6. Достаточные условия экстремума функционала задачи Больца.
7. Достаточные условия экстремума функционала изопериметрической задачи.
Глава 13. Оптимальное управление. Принцип максимума Понтрягина.
1. Некоторые задачи оптимального управления.
2. Формализация задачи оптимального управления.
3. Доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи оптимального управления на множестве функций со свободным концом.
4. Решение задач оптимального управления.
5. Задачи.
Глава 14. Принцип максимума и необходимые условия экстремума в задачах вариационного исчисления.
1. Необходимые условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления.
2. Необходимые условия экстремума в задаче со старшими производными.
3. Необходимые условия экстремума изопериметрической задачи.
Глава 15. Экономическая модель Леонтьева.
1. Динамическая модель производства Леонтьева.
2. Двойственная задача и ее экономическая интерпретация.
3. Условия оптимальности. Экономическая интерпретация.
Глава 16. Метод динамического программирования.
1. Принцип оптимальности.
2. Задача оптимального быстродействия.
3. Метод динамического программирования в задачах Майера, Лагранжа, Больца.
4. Обоснование принципа максимума методом динамического программирования.
5. Задачи.
Глава 17. Ответы, указания, решения.
Предметный указатель.
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Вариационное исчисление, Экстремальные задачи, Моклячук М.П., 2019 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Моклячук :: формула Тейлора