Энтропии и фракталы в анализе данных, Чумак О.В., 2011

Энтропии и фракталы в анализе данных, Чумак О.В., 2011.

   Энтропия как мера хаоса и мультифрактальность как мера порядка рассматриваются как важнейшие универсальные взаимосвязанные и взаимодополняющие понятия, характеризующие сложные системы самой разнообразной природы. Прослежены основные этапы развития этих понятий. Обсуждаются различные варианты построения вероятностных мер и соответствующих им энтропий на примерах реальных временных рядов и видеоизображений. Также на конкретных примерах показаны методы расчета мультифрактальных параметров через расчет энтропий. Обсуждаются некоторые специальные методы расчета фрактальных размерностей.
Книга ориентирована на студентов, аспирантов и специалистов, занимающихся анализом данных в самых разных областях. В связи с этим изложение ведется на предельно доступном уровне, текст снабжен большим количеством примеров. Так примеры расчета выборочных энтропий содержатся разделах 3.3 и 3.4, примеры конструктивных фракталов — в разделе 4.1, примеры природных фракталов представлены на рис. 3.6 и 3.7. Кроме того, все обсуждаемые алгоритмы расчета энтропий, фрактальных размерностей и мультифрактальных спектров иллюстрируются конкретными примерами.




Фракталы и энтропии.
Понятие «фрактал» настолько общее, что до сих пор нет его общепринятого определения. Термин «фрактал» был предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 г., получив широкую известность после опубликования в 1977 г. книги «Фрактальная геометрия природы» [1]. Словом «фрактал» — дробный, разбитый, ломаный — Мандельброт называл самоподобные геометрические фигуры, каждый фрагмент которых повторяется при уменьшении масштаба, то есть фигура обладает свойством масштабной инвариантности. Это свойство принципиально отличает фракталы от графиков гладких функций, у которых при уменьшении масштаба фрагмент стремится к отрезку прямой или плоскости, то есть к объектам с целочисленной размерностью. Специальные скейлинговые процедуры позволяют определить размерность фракталов, и эта размерность оказывается дробной. Таким образом, фрактал имеет вид ломанного или разбитого на фрагменты объекта, а его размерность - дробная. Термин «фрактал», предложенный Мандельбротом, оказался очень емким.

Тот факт, что для большинства масштабно инвариантных объектов результат не сходится к целочисленным показателям степени, которые обычно играют роль размерности (0 — точка (нульмерье), 1 — линия (одномерье), 2 — поверхность (двумерье), 3 — объем (трехмерье)... N — n-мерье), вначале казался удивительным. На самом деле ничего удивительного здесь нет. В природе нет нульмерных точек, двумерных линий, трехмерных объемов, гладких функций. Все это лишь абстрактные модели, которые, отбрасывая все «лишнее», помогают нам приближенно представить реальные объекты и вводить простую меру для их количественного сравнения.

Оглавление.
Предисловие.
Глава 1. Введение.
1.1. Фракталы и энтропии.
1.2. Становление понятия «энтропия».
1.2.1. Сади Карно.
1.2.2. Бенуа П. Клапейрон.
1.2.3. Рудольф Ю. Клаузиус.
1.2.4. Людвиг Больцман.
1.2.5. Джозайя У. Гиббс.
1.2.6. Клод Э. Шеннон.
1.2.7. Андрей Н. Колмогоров.
1.2.8. Альфред Реньи.
1.2.9. Константино Тсаллес.
1.2.10. Джон фон Не    йман.
1.2.11. Заключительные замечания.
1.3. Список литературы.
Глава 2. Энтропия и информация.
2.1. Информация как первичное понятие.
2.2. Мера Хартли. Теорема Хартли.
2.3. Энтропия систем с не равновероятными состояниями.
2.4. О принципе максимума энтропии.
2.5. Список литературы.
Глава 3. Энтропии временных рядов и видеоизображений.
3.1. Общие замечания о временных рядах.
3.2. О параметризации.
3.3. Выборочные энтропии.
3.3.1. Первая выборочная энтропия.
3.3.2. Вторая выборочная энтропия.
3.3.3. Перестановочная энтропия.
3.3.4. Энтропия Реньи.
3.4. Энтропии видеоизображений.
3.5. Список литературы.
Глава 4. Фракталы и их свойства.
4.1. Конструктивные фракталы.
4.1.1. Парадокс Лебега и производные Гельдера.
4.1.2. Н – фрактал.
4.1.3. Канторова пыль.
4.1.4. Фигуры Коха.
4.1.5. Фрактал Минковского.
4.1.6. Фракталы Серпинского.
4.1.7. Круговые фракталы.
4.2. Природные фракталы.
4.2.1. Размерность Хауздорфа, бокс алгоритм, скейлинг.
4.2.2. Соотношения «масса-радиус», «периметр-площадь» и «площадь-объем».
4.2.3. Информационная размерность.
4.2.4. Корреляционная размерность.
4.3. Мультифракталы.
4.3.1. Понятие мультифрактала.
4.3.2. Спектр размерностей Реньи.
4.3.3. Расчет мультифрактальных спектров размерностей.
4.3.4. Бокс алгоритм для CCD изображений.
4.4. Список литературы.
Глава 5. Специальные методы расчета фрактальных размерностей временных рядов.
5.1. Элементы R/S анализа.
5.1.1. Эмпирический закон Хэрста.
5.1.2. Оценка показателя Хэрста.
5.2. Алгоритм Хигучи.
5.3. Алгоритм Грасбергера – Прокачча.
5.4. Перестановочная размерность.
5.3. Список литературы.
Заключение.
Список литературы.
Приложение. Ральф Нельсон Эллиотт — автор оригинальной концепции изменчивости сложных систем.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Энтропии и фракталы в анализе данных, Чумак О.В., 2011 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Чумак :: фрактал :: энтропия