Дифференциальные уравнения, То решаем, то рисуем, Аносов Д.В., 2010

Дифференциальные уравнения, То решаем, то рисуем, Аносов Д.В., 2010.

   В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других — как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов.
Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости. Книга не заменяет вузовские учебники, но так как в ней затрагиваются и не освещаемые в них вопросы, а часть других вопросов освещается иначе, то она может заинтересовать и студентов вузов со значительной математической программой.




Примеры фазовых портретов.
После этих общих разговоров познакомимся с простейшими фазовыми портретами систем физического происхождения.
При n = 1 фазовый портрет выглядит неинтересно. Это прямая, на которой отмечены точки, являющиеся положениями равновесия (в них, напомню, f(х) = 0); они разбивают прямую на некоторые интервалы; на последних поставлены стрелки, указывающие направление движения при увеличении t.

Так что интересными бывают фазовые портреты для систем второго порядка. Системы (13) и (14), описывающие свободное падение и гармонический осциллятор, как раз являются автономными системами второго порядка. В древности наивно полагали, будто состояние движущегося тела сводится к его положению, что приводило к парадоксу, известному под названием «стрела». Чем отличается летящая стрела от покоящейся, которая занимала бы то же положение, какое в данный момент занимает летящая стрела? Если они находятся в одном и том же состоянии, а никакие внешние факторы на них не действуют, то почему же одна летит, а другая неподвижна? Автор этого парадокса, Зенон (ок. 490—430 до н. э.), приводил его в защиту того мнения, что на самом деле движение — это одна видимость («движенья нет, сказал мудрец брадатый...»). Но со времён Галилея и особенно Ньютона мы понимаем, что состояние движущегося тела характеризуется не только его положением, но и скоростью (физик вместо скорости предпочёл бы говорить об импульсе, но нам это всё равно). Переписывая уравнения (2) и (7) в виде систем (13), (14), мы как раз и добавили к переменной х новую переменную у, равную скорости изменения х.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
§1. Введение.
§2. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений.
§3. Примеры фазовых портретов.
§4. Показательная функция.
§5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
§6. Автоколебания.
§7. Теория Пуанкаре-Бендиксона. Грубость и типичность.
§8. Хаос.
Предметный указатель.

Купить .








Теги: учебник по математике :: математика :: Аносов