Условия экстремума и вариационное исчисление, Демьянов В.Ф., 2005

Условия экстремума и вариационное исчисление, Демьянов В.Ф., 2005.

   В учебном пособии изучается общая задача нахождения экстремальных значений функционала на множестве метрического пространства (так называемая задача условной оптимизации). Сформулированы необходимые условия экстремума и достаточные условия экстремума k-го порядка (k > 0). Реализована следующая общая концепция решения задачи условной оптимизации: исходная задача с помощью точных штрафных функций сводится к задаче оптимизации некоторого функционала на всем пространстве.
Эффективность полученных результатов демонстрируется на примере задач вариационного исчисления и оптимального управления.
Для студентов и аспирантов, специализирующихся в области вариационного исчисления, теории управления, оптимизации и исследования операций.




ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.
В этой главе изучается общая задача оптимального управления. Основная особенность задач оптимального управления - наличие дифференциальных связей. Соответствующая система дифференциальных уравнений рассматривается в качестве «ограничений». Показывается, как эти ограничения можно «устранить», вводя подходящую функцию точного штрафа.

Ниже рассматривается лишь простейшая задача теории оптимального управления, однако излагаемый аппарат пригоден как раз для решения более сложных задач управления (при наличии ограничений на фазовые координаты, при негладких функционалах и правых частях систем уравнений).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1. Вспомогательные сведения.
§1.1. Метрические пространства.
1.1.1. Определения и примеры.
1.1.2. Неравенства Минковского и Гельдера.
1.1.3. Эквивалентные метрики.
1.1.4. Сходимость и непрерывность в метрическом пространстве.
1.1.5. Подмножества метрического пространства.
1.1.6. Отображения. Метрика Хаусдорфа.
1.1.7. Абсолютно непрерывные функции.
§1.2. Линейные и нормированные пространства.
1.2.1. Линейное пространство и норма элемента.
1.2.2. Линейная независимость элементов.
1.2.3. Евклидовы пространства.
1.2.4. Линейные операторы.
§1.3. Линейные функционалы.
1.3.1. Общий вид линейного функционала в пространствах Rn1, Rn2 и Rn.
1.3.2. Общий вид линейного функционала в С[а,b].
1.3.3. Общий вид линейного функционала в Lp[a,b].
1.3.4. Общий вид линейного функционала в L2[а,b].
§1.4. Минимизация в конечномерном пространстве.
1.4.1. Необходимое условие минимума гладкой функции на выпуклом множестве.
1.4.2. Необходимое условие минимума функции максимума.
1.4.3. Задача математического программирования.
Глава 2. Задача безусловной оптимизации.
§2.1. Оптимизация в метрическом пространстве.
2.1.1. Условия первого порядка.
2.1.2. Условия k-го порядка.
§2.2. Оптимизация в нормированном пространстве.
§2.3. Дифференцируемость по направлениям.
§2.4. Исчисление производных по направлениям.
§2.5. Дифференцируемость по Гато и Фреше.
2.5.1. Дифференцируемые функции.
2.5.2. Условия экстремума для дифференцируемых функций.
2.5.3. Функция максимума дифференцируемых функций.
§2.6. Конечномерный случай.
2.6.1. Условия экстремума.
2.6.2. Случай дифференцируемой функции.
Глава 3. Задача условной оптимизации.
§3.1. Оптимизация в метрическом пространстве при наличии ограничений
3.1.1. Условия первого порядка.
§3.2. Задача условной оптимизации в нормированном пространстве.
§3.3. Штрафные функции.
3.3.1. Определение и свойства штрафной функции.
3.3.2. Индикаторные функции.
§3.4. Точные штрафные функции и глобальный минимум.
3.4.1. Точки глобального минимума.
§3.5. Точные штрафные функции и локальные минимумы.
3.5.1. Точки локального минимума.
§3.6. Точные штрафные функции и стационарные точки.
3.6.1. Inf-стационарные точки.
3.6.2. Точки локального минимума штрафной функции.
3.6.3. Связь между достаточными условиями.
§3.7. Точные штрафные функции и минимизирующие последовательности
3.7.1. Наименьшая константа точного штрафа.
3.7.2. Достаточные условия существования точной штрафной функции.
§3.8. Точные гладкие штрафные функции.
§3.9. Множители Лагранжа.
3.9.1. Случай ограничений-равенств.
3.9.2. Общий случай ограничений-равенств.
3.9.3. Случай ограничений-неравенств.
§3.10. Задача линейного программирования.
Глава 4. Основная задача вариационного исчисления.
§4.1. Постановка задачи и эквивалентная задача.
4.1.1. Введение.
4.1.2. Задача вариационного исчисления.
4.1.3. Примеры.
4.1.4. Эквивалентная постановка задачи.
4.1.5. Локальные минимумы.
§4.2. Точная штрафная функция.
§4.3. Вариации кривых.
4.3.1. Классическая вариация.
4.3.2. Игольчатая вариация.
4.3.3. Двухточечная игольчатая вариация.
4.3.4. Многоточечная игольчатая вариация.
4.3.5. Двухигольчатая пакетная вариация.
4.3.6. l-игольчатая пакетная вариация.
4.3.7. Многоточечная многоигольчатая пакетная вариация.
§4.4. Вариации функционала f(z).
4.4.1. Классическая вариация функционала f(z).
4.4.2. Игольчатая вариация функционала f(z).
4.4.3. Двухточечная игольчатая вариация функционала f(z).
4.4.4. Многоточечная игольчатая вариация функционала f(z).
4.4.5. Двухигольчатая пакетная вариация функционала f(z).
4.4.6. l-игольчатая пакетная вариация функционала f(z).
4.4.7. Многоточечная многоигольчатая пакетная вариация функционала f(z).
§4.5. Вариация функционала φ(z).
4.5.1. Классическая вариация функционала φ(z).
4.5.2. Игольчатая вариация функционала φ(z).
4.5.3. Двухточечная игольчатая вариация функционала φ(z).
4.5.4. Многоточечная игольчатая вариация функционала φ(z).
4.5.5. Двухигольчатая пакетная вариация функционала φ(z).
4.5.6. i-игольчатая пакетная вариация функционала φ(z).
4.5.7. Многоточечная многоигольчатая пакетная вариация функционала ф(z).
§4.6. Необходимые условия первого порядка.
4.6.1. Классическая вариация функционала Фλ.
4.6.2. Первое условие Эрдмана - Вейерштрасса.
§4.7. Условия второго порядка.
4.7.1. Вторые вариации.
4.7.2. Необходимые условия второго порядка.
4.7.3. Достаточные условия слабого локального минимума.
§4.8. Необходимые условия сильного минимума.
4.8.1. Двухточечная игольчатая вариация функционала Фλ.
4.8.2. Необходимые условия сильного экстремума.
4.8.3. Исследование двухточечного необходимого условия.
4.8.4. Условие Лежандра - Клебша.
4.8.5. Условия Эрдмана - Вейерштрасса.
§4.9. Исследование уравнения Эйлера.
§4.10.Численные методы в задачах вариационного исчисления.
4.10.1. Дифференцируемость функционала f.
4.10.2. Направление наискорейшего спуска.
4.10.3. Метод наискорейшего спуска.
4.10.4. Метод гиподифференциального спуска.
Глава 5. Другие задачи вариационного исчисления.
§5.1. Введение.
§5.2. Изопериметрические задачи.
5.2.1. Постановка задачи.
5.2.2. Свойства функции φ.
5.2.3. Точная штрафная функция.
5.2.4. Необходимые условия минимума в изопериметрической задаче.
5.2.5. Направление наискорейшего спуска функции Фλ.
5.2.6. Метод гиподифференциального спуска в изопериметрической задаче.
§5.3. Задачи с подвижными концами.
5.3.1. Случай фиксированного левого конца.
5.3.2. Вариация функционала Фλ (z).
5.3.3. Общий случай.
§5.4. Минимаксные задачи вариационного исчисления.
5.4.1. Постановка задачи.
5.4.2. Вариация функционала φл (z).
5.4.3. Исследование необходимого условия.
Глава 6. Задачи оптимального управления.
§6.1. Системы дифференциальных уравнений.
6.1.1. Случай φu(z) > 0.
6.1.2. Случай φu(z) = 0.
§6.2. Постановка задачи оптимального управления.
§6.3. Игольчатая вариация функционала Фλ.
§6.4. Принцип максимума Л.C. Понтрягина.
6.4.1. Необходимое условие минимума.
6.4.2. Эквивалентная формулировка.
6.4.3. Принцип максимума.
§6.5. Линеаризованный принцип максимума.
6.5.1. Классическая вариация функционала Фλ (z, u).
6.5.2. Необходимое условие оптимальности.
Библиографические указания.
Список основных сокращений и обозначений.
Литература.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Условия экстремума и вариационное исчисление, Демьянов В.Ф., 2005 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Демьянов