Геометрические свойства кривых второго порядка, Акопян А.В., Заславский А.А., 2007

Геометрические свойства кривых второго порядка, Акопян А.В., Заславский А.А., 2007.

Книга посвящена тем свойствам коник (кривых второго порядка), которые формулируются и доказываются на чисто геометрическом языке (проективном или метрическом). Эти свойства находят применение в разнообразных задачах, а их исследование интересно и поучительно. Изложение начинается с элементарных фактов и доведено до весьма нетривиальных результатов, классических и современных. Раздел «Некоторые факты классической геометрии» является содержательным дополнением к традиционному курсу евклидовой планиметрии, расширяющим математический кругозор читателя. Книга демонстрирует преимущества чисто геометрических методов, сочетающих наглядность и логическую прозрачность. Она содержит значительное количество задач, решение которых тренирует геометрическое мышление и интуицию.
Книга может быть полезна для школьников старших классов, студентов физико-математических специальностей, преподавателей и широкого круга любителей математики.




Элементарные свойства кривых второго порядка.
Определения
Пусть коза привязана веревкой к колышку. Ясно, что в этом случае она съест траву внутри круга, центром которого является колышек, а радиус равен длине веревки. Привяжем теперь козу к двум колышкам с помощью веревки и скользящего по ней кольца. В этом случае область, внутри которой коза съест траву, будет выглядеть как на рис. 1.1. Граница этой фигуры характеризуется тем свойством, что сумма расстояний от любой ее точки до колышков равна длине веревки. Такая кривая называется эллипсом, а точки, в которые воткнуты колышки, — фокусами.

Понятно, что эллипс выглядит как «вытянутая окружность». У него, очевидно, есть две оси симметрии. Это прямая, соединяющая фокусы, и серединный перпендикуляр к отрезку с концами в фокусах. Эти две прямые называются большой и малой осями эллипса, а длины их частей, лежащих внутри эллипса, длинами большой и малой осей. Расстояние между фокусами называют

Оглавление
Вступительные слона
Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка
§1.1. Определения
§ 1.2. Аналитическое определение и классификация кривых второго порядка
§ 1.3. Оптическое свойство
§ 1.4. Изогональное свойство коник
§ 1.5. Кривые второго порядка как проекции окружности
§ 1.6. Эксцентриситет и еще одно определение копик
§ 1.7. Замечательные свойства параболы
Глава 2. Некоторые факты классической геометрии
§ 2.1. Инверсия и теорема Фейербаха
§ 2.2. Основные сведения о проективных преобразованиях
§ 2.3. Некоторые факты из геометрии треугольника
§ 2.4. Радикальные оси и пучки окружностей
Глава 3. Проективные свойства коник
§ 3.1. Двойное отношение четырех точек кривой. Параметризация. Обратные теоремы Паскаля и Бриан шона
§ 3.2. Полярное соответствие. Принцип двойственности
§ 3.3. Пучки кривых. Теорема Попселе
Глава 4. Евклидовы свойства кривых второю порядка
§ 4.1. Особые свойства равносторонней гиперболы
§ 4.2. Вписанные коники
§ 4.3. Нормали к конике. Окружность Иоахимсталя
§ 4.4. Теорема Попселе для софокуспых эллипсов
Решения задач
Предметный указатель
Список литературы.

Купить .








Теги: учебник по математике :: математика :: Акопян :: Заславский