Введение в теорию фракталов, Морозов А.Д., 2002

Введение в теорию фракталов, Морозов А.Д., 2002.

   Книга посвящена основам теории фракталов и состоит из двух частей и приложения. В первой части рассматриваются конструктивные фракталы, во второй - динамические, а в приложении приводится вспомогательный материал.
Вторая часть посвящена фракталам, которые возникают в дискретных нелинейных динамических системах. Это множества, хаусдорфова (или фрактальная) размерность которых больше топологической размерности. К ним относятся одномерные комплексные эндоморфизмы, рассмотренные Жюлиа и Фату в начале 20 века. В книге приводятся основы современной теории подобных эндоморфизмов. Изложение иллюстрируется на примере фракталов Жюлиа, Мандельброта, Ньютона. В книгу включены новые результаты по гиперкомплексной динамике.
В приложении приводится вспомогательный математический материал из теории множеств, обсуждается определение линии, даются основы теории размерности и, прежде всего, хаусдорфовой размерности.
Книга может быть использована как учебное пособие по фракталам и ориентирована прежде всего на студентов физико-математических факультетов университетов. Первая часть доступна школьникам старших классов.




Случайность во фракталах.
Мы построили много различных кривых, обладающих самоподобием. Сравним одну из них, кривую Коха, с береговой линией западного Британского побережья. В действительности береговые линии созданы по капризу природы, и есть случайность в этом созидательном процессе.

Если интерпретировать самоподобие статистически, то получим более реалистические картины. Подобная теория достаточно сложна. Однако построить статистические фракталы с помощью компьютера достаточно просто, ибо компьютер позволяет получать псевдослучайные последовательности чисел.

Некоторые из методов, основанных на случайностях, называют методами Монте-Карло. Более широкое и формальное название - стохастические методы. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Итак, в этом разделе вы увидите, как можно менять фракталы с помощью введения случайности. Мы будем говорить о случайных фракталах в связи с броуновским движением. Термин «броуновское движение» происходит от биолога Роберта Брауна (1773 - 1858), который наблюдал, как микроскопические частицы двигаются изменяющимися курсами. В связи с броуновскими движениями в теории фракталов возник термин «броуновские фракталы» (подробности см., например, в [18]).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Часть 1. Конструктивные фракталы.
Глава 1. Фракталы и системы счисления.
1.1. Древовидная структура и системы счисления.
1.1.1. Двоичная система.
1.1.2. Четверичная и восьмеричная системы.
1.1.3. Троичная система.
1.2. Решето Серпинского.
1.3. Фрактал Кантора.
1.3.1. Арифметические свойства фрактала Кантора.
Глава 2. Фракталы и меандры.
2.1. Эксперимент Ричардсона.
2.2. Степень изгибания кривой (первое знакомство с фрактальной размерностью).
2.3. Кривая Коха.
2.4. Вариации на тему кривой Коха.
2.5. Общая схема построения конструктивных фракталов.
2.5.1. Варианты.
2.6. Семейство драконов.
2.6.1. Кривая «Дракона».
Глава 3. Спирали, деревья, звезды.
3.1. Спирали.
3.2. Дерево Пифагора.
3.2.1. Склонившееся (спиральное) дерево Пифагора.
3.3. Звезды.
Глава 4. Анализ конструктивных фракталов.
4.1. Инвариантные преобразования.
4.2. Поворот.
4.3. Сжатие (растяжение).
4.4. Поворот с растяжением (сжатием).
4.5. Применение поворота сжатия.
4.6. Отражение.
4.7. Применения сжатия-отражения.
Глава 5. Случайность во фракталах.
5.1. Броуновская кривая.
5.2. Квазислучайность в динамике.
5.2.1. Модель ограниченного роста популяций.
5.2.2. Определение детерминированного хаоса по Девани.
Часть 2. Введение во фрактальную динамику.
Глава 6. Одномерные комплексные отображения.
6.1. Итерации комплексных функций. Множества Жюлиа и Фату.
6.1.1. Основы теории множеств Жюлиа.
6.2. Одномерные комплексные рациональные эндоморфизмы.
Глава 7. Фракталы Жюлиа и Мандельброта.
7.1. Фракталы Жюлиа.
7.2. Фрактал Мандельброта.
7.3. Фрактал Мандельброта на экране компьютера.
Глава 8. Фракталы Ньютона.
Глава 9. Элементы гиперкомплексной динамики.
9.1. Гиперкомплексные числа и кватернионы.
9.2. Отображение Жюлиа в 3-х мерном гиперпространстве.
9.2.1. Свойства отображения J3D.
9.3. Группы симметрий и мозаики в 3-х мерном гиперпространстве.
9.3.1. Конструирование Г-инвариантных функций.
9.3.2. Определение цвета.
Приложение.
Глава 10. Краткие сведения из теории множеств.
10.0.1. Мощность множества.
10.0.2. Примеры эквивалентных множеств.
10.1. Счетные множества.
10.2. Множества мощности континуума.
10.3. Кольца и алгебры множеств.
10.4. Точечные множества в евклидовом пространстве.
10.5. Предельные точки.
10.6. Замкнутые и открытые множества.
Глава 11. Что такое линия?.
11.1. Первые определения линии. Жордановы кривые. Кривая Пеано.
11.2. Канторовы кривые. Ковер Серпинского.
11.3. Урысоновское определение линии.
Глава 12. Хаусдорфова мера и размерность.
12.1. Хаусдорфова мера.
12.2. Хаусдорфова размерность.
12.2.1. Открытые множества.
12.2.2. Гладкие множества.
12.2.3. Монотонность.
12.2.4. Счетная устойчивость.
12.2.5. Счетные множества.
12.3. Вычисление хаусдорфовой размерности - простые примеры.
12.4. О других размерностях.
12.4.1. Предельная емкость. Фрактальная размерность.
12.4.2. Инвариантная мера.
12.4.3. Поточечная размерность.
Список литературы.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Введение в теорию фракталов, Морозов А.Д., 2002 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Морозов :: теория фракталов