Лекции по математике, том 12, Контрпримеры и парадоксы, Босс В., 2009

Лекции по математике, Том 12, Контрпримеры и парадоксы, Босс В., 2009.
 
  Рассматриваются контрпримеры и парадоксы, рассеянные по другим томам и территориям. В отличие от специализированных источников подобного сорта здесь проблематика охватывается шире — фактически во всем диапазоне университетского математического образования. Отбор материала производится в основном по критерию идеологической значимости. Главное внимание уделяется осмыслению результатов. Изложение отличается краткостью и прозрачностью.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.



Существует ли логический дальтонизм.
Визуальные ловушки для выявления дальтоников, зрительные иллюзии и обманы для развлечения, — все это подталкивает к мысли о существовании аналогов в ментально-логической сфере. Возьмем хорошо известный пример в котором рисунок меняется при перевороте, что поначалу выглядит по меньшей мере странно. Поворот на 180° превращает девушку в старуху, и воображение, попадая в западню, не в состоянии рассмотреть в правом варианте — левый. Точно так же логические рассуждения подвержены метаморфозам под воздействием неправильных акцентов, побочных резонансов и вообще — неточностей разного калибра.

Не хотелось бы далее углубляться в зрительные обманы, хорошо известные на поверхностном уровне. Структурно в них заложены многие архетипы воображения и мышления, действующие в быту и в математике. Там, где описание задачи, формулировка вопроса непроизвольно или намеренно вызывают неподходящие случаю ассоциации, — включаются нежелательные стереотипы, и мысль уводится в сторону. Вот характерный пример.

Оглавление
Предисловие к "Лекциям"
Предисловие к двенадцатому тому
1 Интуиция как источник парадоксов
1.1. Противоречия "в" или "вне"
1.2. Существует ли логический дальтонизм
1.3. Инерция и неизобретательность
1.4. Иллюзии неразрешимости
1.5. Движение по накатанной
1.6. Портрет интуиции
2 Числа и множества
2.1. Актуальная бесконечность
2.2. Аксиома выбора
2.3. Парадокс Банаха--Тарского
2.4. Химеры на окружности
2.5. Разрезание группы поворотов
2.6. Дробление орбит и финиш
2.7. Разрывная линейная функция
2.8. Конструктивные числа
2.9. Последовательность Шпеккера
2.10. Замечания и дополнения
3 Мера и категория
3.1. Меры Жордана, Бореля и Лебега
3.2. Осечки наивного подхода
3.3. К определению линии и кривые Пеано
3.4. Множества Витали и Бернштейна
3.5. Категории Бэра
3.6. Измеримые функции
3.7. Факультативная экзотика
4 Классический анализ
4.1. Непрерывные странности
4.2. О несбыточности намерений
4.3. Скрытые "изъяны" гомеоморфизмов
4.4. Дифференциальные свойства
4.5. Интегрирование
4.6. Повторные пределы
4.7. Замечания и дополнения
5 Метрические пространства
5.1. Конечномерный прецедент
5.2. Циклические многогранники
5.3. Метрика и топология
5.4. О бесконечной размерности
5.5. Линейные операторы
5.6. Слабая сходимость
5.7. Полная непрерывность
5.8. Спектральные свойства
5.9. Обусловленность и спектр
6 Теория вероятностей
6.1. Простейшие неполадки
6.2. Как теория создает заблуждения
6.3. Подоплека независимости
6.4. Корреляционные ляпсусы
6.5. Проблемы в основаниях
6.6. Сходимость случайных величин
7 Алгоритмическая неразрешимость
7.1. Алгоритмы и вычислимость
7.2. Перечислимость и разрешимость
7.3. Диофантовы множества
7.4. Теоремы Гейделя
7.5. Неформализуемость истины
7.6. Неаксиоматизируемость арифметики
7.7. Универсальные функции и нумерации
7.8. Теорема Райса
8 Дискретная проблематика
8.1. О разрешенных инструментах
8.2. Парадокс Сколема
8.3. Конечная природа счетности
8.4. Арифметика Пеано
8.5. Аксиоматика Цермело-Френкеля
8.6. Гипотеза континуума
8.7. P против NP
8.8. Сюрреалистические достижения
9 Динамические системы
9.1. Дуализм описания
9.2. Устойчивость равновесия
9.3. Связь локального с глобальным
9.4. Бифуркации
9.5. Феномен вибрации
9.6. Внутренний резонанс
9.7. Адиабатические процессы
9.8. Управляемость
9.9. Аттракторы и фракталы
9.10. Волны и солитоны
10 Игры и теория голосования
10.1. Сюрпризы смешанных стратегий
10.2. Антагонистические игры
10.3. Нэшевские решения
10.4. Теорема Эрроу
11 Оптимизация
11.1. Морсовские седла
11.2. Взаимодействие экстремумов
11.3. Вариационное исчисление
12 Перечень фактов и определений
12.1. Интуиция как источник парадоксов
12.2. Числа и множества
12.3. Мера и категория
12.4. Классический анализ
12.5. Метрические пространства
12.6. Теория вероятностей
12.7. Алгоритмическая неразрешимость
12.8. Дискретная проблематика
12.9. Динамические системы
12.10. Игры и теория голосования
12.11. Оптимизация
Сокращения и обозначения
Литература
Предметный указатель.

Купить книгу Лекции по математике, Том 12, Контрпримеры и парадоксы, Босс В., 2009 .








Теги: учебник по математике :: математика :: Босс