Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Федорчук В.В., 1990

КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ИЗОМЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА.
Примеры. 1. В одномерном пространстве имеется ровно два изометрических оператора: тождественный и противоположный ему. Это вытекает из того, что в этом случае согласно 32.6 собственное значение оператора равно ±1.

2. В двумерном пространстве пример изометрического оператора дает оператор поворота на угол t, т. е. оператор, который в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу
cos t -sin t
sin t  cos t

Если для изометрического оператора ф в двумерном пространстве число а + iв является комплексным корнем характеристического многочлена, то согласно 32.6 оператор ф необходимо является оператором поворота на угол t, для которого cos t=a, sin t= -в.

3. В произвольном конечномерном пространстве всякий изометрический оператор разлагается в прямую сумму операторов, указанных в п. 1, 2 (теорема 33.2).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. Векторы 7
§ 1. Предварительные теоретико-множественные понятия и факты 7
§ 2. Отрезок и полупрямая 8
§ 3. Полуплоскость и полупространство 12
§ 4. Определение вектора 14
§ 5. Сложение векторов и умножение вектора на число 19
§ 6. Векторы на прямой 22
§ 7. Линейная зависимость 24
§ 8. Геометрический смысл линейной зависимости 27
§ 9. Базисы и координаты 29
§ 10. Проекции и координаты 30
§ 11. Определение скалярного произведения векторов и его свойства 36
§ 12. Скалярное произведение в координатах 38
§ 13. Системы координат 40
Глава II. Уравнения прямой линии и плоскости 47
§ 14. Уравнения прямой линии на плоскости 47
§ 15. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости 50
§ 16. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат 53
§ 17. Уравнения плоскости 55
§ 18. Взаимное расположение плоскостей. Полупространства 58
§ 19. Прямая в пространстве 60
§ 20. Плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат 61
Глава III. Преобразования координат. Ориентация. Векторное и смешанное произведения 64
§ 21. Матрицы и операции над ними 64
§ 22. Переход от одного базиса к другому 67
§ 23. Переход от одной аффинной системы координат к другой 69
§ 24. Ориентации прямой, плоскости, пространства 71
§ 25. Ориентированный объем параллелепипеда 72
§ 26. Векторное и смешанное произведения 75
§ 27. Некоторые приложения векторного и смешанного произведений к прямым и плоскостям в пространстве 77
Глава IV. Линии второго порядка
§ 28. Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и их матрицы 81
§ 29. Ортогональные матрицы 84
§ 30. Преобразования прямоугольных координат 86
§ 31. Ортогональные инварианты квадратичных функций 98
§ 32. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат 89
§ 33. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду 92
§ 34. Определение канонического уравнения линии второго порядка по инвариантам 93
§ 35. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы 97
§ 36. Фокальное свойство эллипса и гиперболы 101
§ 37. Кривые второго порядка в полярных координатах 103
§ 38. Пересечение линии второго порядка с прямой 106
§ 39. Теоремы единственности для линий второго порядка 111
§ 40. Центры линий второго порядка 113
§ 41. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка 117
§ 42. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии 122
§ 43. Расположение линий второго порядка 126
Глава V. Аффинные преобразования 132
§ 44. Преобразования 132
§ 45. Определение и свойства аффинных преобразований 132
§ 46. Аффинная классификация линий второго порядка 137
§ 47. Определение и свойства изометрических преобразований 140
§ 48. Классификация движений плоскости 142
Глава VI. Поверхности второго порядка 146
§ 49. Основная теорема о поверхностях второго порядка 146
§ 50. Эллипсоиды 148
§ 51. Гиперболоиды 151
§ 52. Конические сечения 155
§ 53. Параболоиды 159
§ 54. Цилиндры 161
§ 55. Аффинная классификация поверхностей второго порядка 164
Глава VII. Проективная плоскость 167
§ 56. Пополненная плоскость и связка 167
§ 57. Однородные координаты на проективной плоскости. Теорема Дезарга 169
§ 58. Проективные системы координат 175
§ 59. Проективные преобразования 179
§ 60. Линии второго порядка в однородных координатах 182
§ 61. Проективная и проективно-аффинная классификации линий второго порядка 183
ЧАСТЬ II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. Линейные пространства 186
§ 1. Определение линейного пространства 186
§ 2. Линейная зависимость. Базисы. Размерность 190
§ 3. Подпространства линейного пространства. Операции над ними 194
§ 4. Прямая сумма подпространств- 198
§ 5. Линейные отображения и изоморфизмы 201
Глава II. Сопряженные пространства 204
§ 6. Определение и простейшие свойства сопряженных пространств 204
§ 7. Второе сопряженное пространство 205
§ 8. Аннуляторы и нулевые подпространства. Системы однородных линейных уравнений 207
Глава III. Линейные операторы в линейном пространстве 211
§ 9. Матрица линейного оператора 211
§ 10. Алгебра линейных операторов и алгебра матриц 214
§ 11. Инвариантные подпространства. Приводимые операторы 217
§ 12. Собственные векторы. Спектр оператора. Диагонализируемые операторы 219
§ 13. Характеристический многочлен оператора. Алгебраическая и геометрическая кратности его корней 221
§ 14. Нильпотентные операторы. Их характеристические многочлены 224
§ 15. Разложение вырожденного оператора в прямую сумму нильпотентного и невырожденного 227
§ 16. Единственность жордановой формы нильпотентного оператора 228
§ 17. Существование жорданова базиса для нильпотентного оператора 331
§ 18. Жорданова форма произвольного оператора 254
§ 10. Теорема Гамильтона—Кэли 235
Глава IV. Билинейные и квадратичные функции 239
§ 20. Билинейные функционалы и их матрицы 239
§ 21. Ранг билинейного функционала. Левое и правое ядра 242
§ 22. Квадратичные функции и полярные к ним билинейные функционалы 244
§ 23. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа 246
§ 24. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции 250
§ 25. Теорема Якоби о приведении квадратичной формы к каноническому виду 252
§ 26. Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра. Определитель Грама. Неравенство Коши—Буняковского 255
Глава V. Эвклидовы пространства 259
§ 27 Эвклидовы и нормированные пространства 259
§ 28. Длины и углы. Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации 262
§ 29. Ортогональное дополнение. Общий вид линейного функционала в эвклидовом пространстве 266
§ 30. Линейные отображения эвклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы 269
§ 31. Самосопряженные операторы 271
§ 32. Изометрические операторы. Инвариантные подпространства. Корни характеристического многочлена 273
§ 33. Канонический вид изометрического оператора 275
§ 34. Неотрицательные операторы 277
§ 35. Разложение произвольного оператора в композицию неотрицательного и изометрического 279
§ 36. Квадратичные функции в эвклидовых пространствах 280
Глава VI. Точечные пространства 283
§ 37. Аффинные и точечно-эвклидовы пространства 283
§ 38. Плоскости в аффинных пространствах. Различные способы их задания 286
§ 39. Пересечение плоскостей. Их взаимное расположение 288
§ 40. Выпуклые множества в аффинных пространствах 292
§ 41. Точки общего положения. Симплексы. Барицентрические координаты 296
§ 42. Аффинные отображения аффинных пространств. Разложение аффинного отображения точечно-эвклидова пространства в композицию изометрического и неотрицательного самосопряженного 298
§ 43 Классификация движений пространства 302
§ 44. Поверхности второго порядка в трехмерном пространстве 305
Глава VII. Элементы тензорной алгебры 309
§ 45. Тензоры. Запись в координатах 309
§ 46. Операции над тензорами. Базис в пространстве тензоров 312
§ 47. Симметрическое и кососимметрические тензоры. Альтернирование 213
§ 48. Внешнее умножение. Базис в пространстве кососимметрических тензоров 317
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Федорчук В.В., 1990 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Федорчук В.В., 1990 - djvu - depositfiles.

Скачать книгу Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Федорчук В.В., 1990 - djvu - Яндекс.Диск.