Математический анализ, Введение в анализ, Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., 1983

Аксиомы множества положительных действительных чисел.
Одним из основных понятий математики является понятие действительного числа. В средней школе действительные числа определяют как числа, представимые в виде бесконечных десятичных дробей. Но в математике наряду с десятичной системой счисления рассматривают другие системы счисления (двоичную, троичную и т. д.), а потому одно и то же действительное число имеет различные записи в зависимости от того, в какой системе счисления их рассматривают.

Для математического анализа существенное значение имеет не тот или иной способ записи чисел, а свойства множества действительных чисел. Ниже мы укажем те основные свойства действительных чисел, из которых можно вывести все остальные их свойства, т. е. построим множество действительных чисел аксиоматически.
Натуральные числа используются при пересчете элементов конечных множеств, положительные действительные числа — при измерении величин. Сложение и умножение этих чисел отражают определенные операции, производимые над геометрическими и физическими величинами.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава I. Отображения. Действительные числа.
§1. Отображения множеств и их виды.
1. Отображения множеств.
2. Обратное отображение.
3. Композиция отображений.
§2. Действительные числа.
4. Аксиомы множества положительных действительных чисел.
5. Координатный луч.
6. Условие единственности разделяющего числа.
7. Теорема Евдокса — Архимеда и ее следствия.
8. Умножение и деление в R+.
9. Десятичная запись положительных действительных чисел. Измерение отрезков.
10. Множество действительных чисел и его свойства.
11. Координатная прямая. Окрестности.
12. Ограниченные числовые множества. Точная верхняя и точная нижняя грани числовых множеств.
Глава II. Числовые функции.
§3. Функции и выражения.
13. Определение числовой функции.
14. Рациональные функции.
15. Иррациональные функции.
16. Тригонометрические функции.
17. Композиция числовых функций.
18. Таблицы значений функции. Функциональные шкалы.
19. График функции.
20. «Сложение» и «умножение» графиков функций.
§4. Свойства функций.
21. Ограниченные и неограниченные функции.
22. Монотонные функции.
23. Четные и нечетные функции.
24. Периодические функции.
25. Последовательности.
Глава III. Предел функции.
§5. Предел функции на бесконечности.
26. Бесконечно малые функции.
27. Предел функции при х → + ∞.
28. Другие формулировки определения предела функции при х → + ∞.
29. Физический смысл понятия предела функции при х → + ∞.
30. Свойства пределов функций при х → + ∞.
31. Предел функции при х → - ∞ и при х → ∞.
32. Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.
33. Бесконечно большие функции и их свойства.
§6. Вычисление пределов функций при х → ∞.
34. Вычисление предела суммы, произведения и частного.
35. Вычисление предела отношения двух многочленов при х → ∞.
36. Вычисление предела корня.
37. Асимптоты.
§7. Предел последовательности.
38. Предел по множеству. Предел последовательности.
39. Теорема о стягивающейся системе отрезков.
40. Число е.
§8. Предел функции в точке.
41. Определение предела функции в точке.
42. Свойства предела функции.
43. Предел по множеству. Односторонние пределы.
44. Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.
45. Бесконечные пределы. Вертикальные асимптоты.
Глава IV. Непрерывные функции.
§9. Непрерывность функции в точке.
46. Непрерывные и разрывные процессы. Непрерывные функции.
47. Арифметические операции над непрерывными функциями.
48. Предел композиции функций. Непрерывность композиции функций
49. Свойства функций, непрерывных в точке.
50. Точки разрыва функции.
§10. Техника вычисления пределов функций.
51. Предел непрерывной функции. Простейшие случаи раскрытия неопределенностей.
52. Предел функции sin x/x при x→0.
53. Порядок бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
§11. Свойства непрерывных функций.
54. Теорема о промежуточном значении.
55. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке.
56. Обратная функция.
57. Обратные тригонометрические функции.
Глава V. Показательная и логарифмическая функции.
§12. Показательная и логарифмическая функции.
58. Показательная функция на множестве рациональных чисел.
59. Степень с иррациональным показателем.
60. Показательная функция на множестве действительных чисел.
61. Свойства степеней с действительными показателями.
62. Логарифмическая функция.
63. Гиперболические функции.
64. Элементарные функции.
§13. Пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями.
65. Предел показательно-степенной функции.
66. Предел lim (1 + 1/x)x.
67. Вычисление пределов, связанных с показательной и логарифмической функциями.
Варианты контрольной работы.
Ответы.

Купить .