Лекции по вещественному анализу, учебник, Макаров Б.М., Подкорытов А.Н., 2011

Лекции по вещественному анализу, учебник, Макаров Б.М., Подкорытов А.Н., 2011.

Книга посвящена основам теории интегрирования и смежным темам. Особое внимание уделяется теории интеграла по мере Лебега. Обсуждаются замена переменных в кратном интеграле и построение меры на поверхности. Рассмотрены приложения общей теории, гармонические функции, асимптотические формулы Лапласа, ряды и преобразование Фурье, формулы, связанные с методом стационарной фазы, и др. Все темы излагаются для функций одной и нескольких переменных. Рассматриваются актуальные разделы вещественного анализа (например, меры Хаусдорфа), важные геометрические приложения: неравенство Брунна-Минковского, теорема Брауэра, теорема о непрерывных векторных полях на сфере и др. Затрагиваются вопросы функционального анализа. Изложение основано на лекциях, многократно читавшихся авторами на математико-механическом факультете СПбГУ. Книга содержит более 600 примеров и упражнений.





Предисловие.

Теория меры уже давно стала неотъемлемой составной частью университетской программы подготовки математиков. Имеется ряд посвященных ей апробированных руководств. Можно назвать, например, книги Б. 3. Вулиха [В], А.Н.Колмогорова и С. В. Фомина [КФ], не говоря уже о классической монографии П. Халмоша [X]. Однако обычно в книгах по теории меры она рассматривается как самостоятельная дисциплина, что затрудняет достаточно органичное включение её в курс анализа. Например, инвариантность меры Лебега или вовсе не обсуждается, или рассматривается лишь как частный случай свойств меры Хаара; нередко вне поля зрения остаётся задача о преобразовании меры Лебега при диффеоморфизме. С другой стороны, до сих пор изложение теории интегрирования в курсах анализа зачастую основывается на римановой схеме, и читателю приходится не только осваивать многочисленные (хотя и единообразные) определения интеграла с помощью интегральных сумм, соответствующие различным ситуациям (двойные интегралы, тройные интегралы, криволинейные, поверхностные и т.д.), но и подчас преодолевать технические трудности, вызванные не существом дела, а отсутствием достаточно общего подхода к вопросу. Типичные примеры таких трудностей связаны с обоснованием изменения порядка интегрирования или предельного перехода под знаком интеграла.

Оглавление.

Предисловие
Основные обозначения
Глава I. МЕРА
Глава II. МЕРА ЛЕБЕГА
Глава III. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Глава IV. ИНТЕГРАЛ
Глава V. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МЕР
Глава VI. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ
Глава VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Глава VIII. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава IX. АППРОКСИМАЦИЯ И СВЁРТКА
Глава X. РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Глава XI. ЗАРЯДЫ. ТЕОРЕМА РАДОНА - НИКОДИМА
Глава XII. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ДОБАВЛЕНИЯ
Литература
Именной указатель
Предметный указатель

Купить .








Теги: Макаров :: Подкорытов :: 2011 :: анализ :: лекция