Курс математического анализа, часть 1, книга 2, Решетняк Ю.Г., 1999

Курс математического анализа, Часть 1, Книга 2, Решетняк Ю.Г., 1999.

   Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Дается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса. Читателю также представлены отдельные интересные вопросы, примыкающие к основному материалу. Часть I, книга 2 учебника предназначена для студентов первого курса математических факультетов университетов. Она может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ.




Общие сведения о неопределенных интегралах.
Напомним, что функция называется элементарной, если она может быть получена за конечное число шагов выполнением арифметических действий и операции образования суперпозиции из некоторых основных функций, а именно, — из степенной, показательной и логарифмической функций, функций, тождественно постоянных в R, а также из прямых и обратных тригонометрических функций.

Всякая элементарная функция в любом интервале, содержащемся в области ее определения, непрерывна и, значит, в силу результатов § 3, интегрируема.
Производная элементарной функции есть функция элементарная, что с очевидностью следует из правил дифференцирования и формул дифференцирования базисных элементарных функций (доказанных ранее).

Оглавление.
Предисловие.
Глава 5. Интегральное исчисление функций одной переменной.
§1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции.
1.1. Понятие первообразной.
1.2. Интегрируемость линейной комбинации интегрируемых функций.
1.3. Первообразная функции постоянного знака. Произвол в определении первообразной. Определенный и неопределенный интегралы.
1.4. Интегрируемость по объединению промежутков.
§2. Определенные интегралы и их простейшие свойства.
2.1. Линейность определенных интегралов.
2.2. Свойство монотонности интеграла.
2.3. Свойство аддитивности интеграла.
2.4. Критерий интегрируемости функций по замкнутому отрезку.  
2.5. Правило интегрирования по частям.
2.6. Правило замены переменной интегрирования.
2.7. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
§3. Достаточные условия интегрируемости.
3.1. Понятие аддитивной функции отрезка.
3.2. Понятие нижнего интеграла.
3.3. Основная теорема об интегрируемости функции по промежутку.
§4. Техника неопределенного интегрирования.
4.1. Общие сведения о неопределенных интегралах.
4.2. Интегрирование рациональных функций.
4.3. Примеры неопределенных интегралов.
§5. Интегральные теоремы о среднем значении.
5.1. Первая интегральная теорема о среднем значении.
5.2. Лемма о приближении монотонных функций ступенчатыми.  
5.3. Вторая интегральная теорема о среднем значении.
§6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования.
6.1. Интегралы и неравенства, содержащие суммы.
6.2. Римановы суммы и понятие функции, интегрируемой - в смысле Римана.
6.3. Численное интегрирование функций. Формула трапеций.
6.4. Формула Симпсона численного интегрирования.
§7. Приложения интегрального исчисления.
7.1. Площадь плоской фигуры.
7.2. Объемы тел вращения.
7.3. Длина кривой и площадь поверхности вращения.
7.4. Некоторые физические приложения интеграла.
7.5. Доказательство трансцендентности числа в.
Задачи.
Глава 6. Непрерывные отображения метрических пространств.
§1. Общие свойства метрических пространств.
1.1. Определение и простейшие свойства метрических пространств.
1.2. Произведение метрических пространств.
1.3. Шары и сферы в метрических пространствах.
1.4. Понятие подпространства.
§2. Общие сведения о векторных пространствах.
2.1. Понятие векторного пространства.
2.2. Общий принцип построения векторных пространств.
2.3. Линейные отображения векторных пространств.
§3. Нормированные векторные пространства.
3.1. Понятие нормы в векторном пространстве.
3.2. Нормы в пространстве Rп.
3.3. Некоторые специальные подмножества пространства Rn.
3.4. Норма линейного отображения.
§4. Понятия предела и непрерывности для отображений метрических пространств.
4.1. Понятие предела относительно оценочной функции.
4.2. Общие свойства предела.
4.3. Определение предела для отображений метрических пространств.
4.4. Теоремы о пределе сложной функции.
4.5. Понятие полного метрического пространства.
4.6. Предел и непрерывность для функций со значениями в Rn.
4.7. Определение и простейшие свойства асимптотических соотношений.
§5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.
5.1. Определения открытых и замкнутых множеств.
5.2. Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Замыкание, внутренность и граница множества.
5.3. Непрерывные отображения и открытые и замкнутые множества.
5.4. Относительно открытые и относительно замкнутые множества.
§6. Компактные множества в метрических пространствах.
6.1. Определение и общие свойства компактных множеств.
6.2. Критерий компактности множества в Rn.
6.3. Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компактных множествах.
6.4. Некоторые приложения теоремы Вейерштрасса.
6.5. Теорема о равномерной непрерывности непрерывного отображения.
6.6. Модуль непрерывности отображения.
Задачи.
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
§1. Понятие частной производной и дифференциала.
1.1. Дифференцирование и интегрирование вектор-функций одной переменной.
1.2. Понятие производной функции вдоль данного вектора. Частные производные.
1.3. Понятие дифференцируемой функции многих переменных.
§2. Общие свойства дифференцируемых функций.
2.1. Лемма об оценке приращения функции.
2.2. Лемма об интегрировании асимптотических соотношений.  
2.3. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
2.4. Теорема о дифференцируемости сложной функции.
2.5. Признак постоянства функции.
2.6. Теорема Эйлера об однородной функции.
§3. Производные высших порядков.
3.1. Определение производных выше первого порядка.
3.2. Свойство симметричности производных второго порядка.
3.3. Теорема о симметричности производных высших порядков.
3.4. Мультииндексные обозначения.
3.5. Классы Сr.
§4. Формула Тейлора для функций многих переменных.
4.1. Полиномы n переменных.
4.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
4.3. Асимптотическая характеристика полинома Тейлора.
4.4. Формула для производной произвольного порядка функции t-f(x+th). Понятие дифференциала r-го порядка.
§5. Вычисление частных производных.
5.1. Применение формулы Тейлора к вычислению частных производных.
5.2. Исчисление полиномиальных форм.
§6. Экстремум функций многих переменных.
6.1. Необходимые условия экстремума функции.
6.2. Достаточные условия экстремума функции.
§7. Теорема о неявных функциях и ее приложения.
7.1. Простейшая теорема о неявных функциях.
7.2. Общая теорема о неявных функциях.
Задачи.
Глава 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Rn.
§1. Понятие интеграла дифференциальной формы вдоль кривой.
1.1. Свойства функций, представленных интегралами, зависящими от параметра.
1.2. Определение интеграла линейной дифференциальной формы вдоль кривой.
1.3. Понятия точной и замкнутой дифференциальной формы.
1.4. Общая теорема о представимости дифференциальной формы как дифференциала функции.
§2. Приложения понятия интеграла дифференциальной формы вдоль кривой.
2.1. Понятие индекса точки на плоскости относительно замкнутой кривой. Теорема о неподвижных точках.
2.2. Доказательство основной теоремы алгебры.
§3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса.
3.1. Функции ограниченной вариации.
3.2. Функции ограниченной вариации со значениями в банаховом пространстве.
3.3. Интеграл Стилтьеса. Определение интеграла дифференциальной формы первой степени по спрямляемой кривой.
§4. Общее понятие кривой.
4.1. Понятие отношения эквивалентности.
4.2. Понятие кривой в метрическом пространстве.
4.3. Натуральная параметризация кривой.
4.4. Регулярные кривые в пространстве Rn.
4.5. Кривизна кривой.
Задачи.
Послесловие.
Указатель обозначений.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс математического анализа, часть 1, книга 2, Решетняк Ю.Г., 1999 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Решетняк