Курс математического анализа, часть 2, книга 2, Решетняк Ю.Г., 2001

Курс математического анализа, Часть 2, Книга 2, Решетняк Ю.Г., 2001.
 
  Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Дается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса. Читатель найдет также изложение отдельных интересных вопросов, примыкающих к основному материалу. Часть II, книга 2 учебника предназначена для студентов второго курса математических факультетов университетов. Она может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ.




Определение и простейшие свойства интеграла Лебега.
Изложение теории интеграла здесь ведется в общей форме. Вводится понятие системы с интегрированием. Будем говорить, что задана система с интегрированием, если указано некоторое множество функций, имеющих одну и ту же область определения и называемых основными. Каждой основной функции сопоставлено число — интеграл от этой функции. Множество основных функций и их интегралы должны удовлетворять определенным условиям. Эти условия выполнены, в частности, в том случае, когда основными являются ступенчатые функции в пространстве Rn, причем интеграл ступенчатой функции определен, как это описано в параграфе 1.

Первая задача теории интеграла, которую мы рассматриваем, — построение из данной системы с интегрированием расширенной системы, замкнутой относительно определенного типа предельных переходов.
Вторая задача — исследование свойств полученного расширения исходной системы с интегрированием.

Оглавление.
Предисловие.
Глава 13. Интегральное исчисление функций многих переменных (теория кратных интегралов).
§1. Интегрирование ступенчатых функций.
1.1. Вспомогательные сведения.
1.2. Двоичное подразделение пространства Rn.
1.3. Определение и основные свойства ступенчатых функций.
1.4. Определение интеграла ступенчатой функции.
1.5. Теорема о предельном переходе.
§2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега.
2.1. Понятие системы с интегрированием.
2.2. Понятие L1-нормы функции и ее простейшие свойства.
2.3. Свойство субаддитивности L1-нормы.
2.4. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции.
2.5. Свойства, выполняющиеся почти всюду.
§3. Примеры систем с интегрированием.
3.1. Системы с интегрированием в R.
3.2. Мера на кольце множеств. Понятия σ-кольца и меры на σ-кольце.
3.3. Сумма значений функции на произвольном множестве как интеграл.
§4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.
4.1. Теорема о нормально сходящемся ряде.
4.2. Нижняя и верхняя огибающие последовательности интегрируемых функций.
4.3. Теоремы Фату и Лебега о предельном переходе.
§5. Измеримые функции и множества.
5.1. Определения и простейшие свойства измеримых функций.
5.2. Теорема о пределе последовательности измеримых функций.
5.3. Распространение интеграла на измеримые функции.
5.4. Понятие измеримого множества. Интеграл как аддитивная функция множества.
5.5. Системы с интегрированием, счетные в бесконечности.
5.6. Общая теорема об операциях над измеримыми функциями.
§6. Измеримые множества и функции в пространстве Rn.
6.1. Кубическое подразделение открытого множества.
6.2. Измеримость открытых и замкнутых множеств в пространстве Rn.
6.3. Внешняя мера множества. Геометрическая характеристика внешней меры множеств в Rn.
6.4. Измеримость некоторых классов функций Rn.
6.5. Сопоставление различных теорий интегрирования в R.
§7. Теорема Фубини и ее следствия.
7.1. Теорема Фубини.
7.2. Теорема Тонелли.
7.3. Формула Кавальери — Лебега.
§8. Формула замены переменной в кратном интеграле.
8.1. Интегрируемые функции на открытых множествах пространства Rn.
8.2. Формулировка результата.
8.3. Леммы о редукции.
8.4. Лемма о представлении диффеоморфизма как суперпозиции диффеоморфизмов специального вида.
8.5. Доказательство теоремы 8.1.
8.6. Вычисление некоторых мер и интегралов.
§9. Сходимость в L1. Пространство L1.
9.1. Сходимость в L1.
9.2. Пространство L1.
9.3. Достаточные условия непрерывности и дифференцируемости функций, представленных интегралами, зависящими от параметра.
Задачи.
Глава 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье.
§1. Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты.
1.1. Тригонометрические полиномы.
1.2. Понятие тригонометрического ряда. Ряд Фурье интегрируемой функции.
1.3. Теорема Римана — Лебега и ее следствия.
§2. Общее понятие ортогональной системы функций.
2.1. Понятие гильбертова пространства. Пространство L2(Е).
2.2. Ортогональные системы векторов гильбертова пространства.
2.3. Полнота ортогональной тригонометрической системы функций.
2.4. Примеры ортогональных систем функций.
§3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке.
3.1. Теорема о поточечной сходимости рядов Фурье.
3.2. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье.
§4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации.
4.1. Теорема Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье.
4.2. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье для функции ограниченной вариации.
4.3. Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье.
4.4. Примеры разложений функций в ряды Фурье.
§5. Преобразование Фурье.
5.1. Определение и простейшие свойства преобразования Фурье.
5.2. Правило обращения преобразования Фурье.
5.3. Инъективность преобразования Фурье на L1(R).
Задачи.
Глава 15. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы.
§1. Полилинейные функции и поливекторы.
1.1. Понятие полилинейной функции.
1.2. Понятие кососимметрической полилинейной функции.
1.3. Понятие поливектора. Интегрирование по k-мерной плоскости.
§2. Исчисление внешних дифференциальных форм.
2.1. Определение понятия внешней дифференциальной формы.
2.2. Умножение внешних дифференциальных форм.
2.3. Операция дифференцирования внешней дифференциальной формы.
2.4. Операция переноса внешней дифференциальной формы гладким отображением.
2.5. Вторая теорема Пуанкаре.
§3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях пространств Rn.
3.1. Отображения класса Er с произвольной областью определения.
3.2. Понятие диффеоморфизма.
3.3. Понятие fc-мерного подмногообразия пространства Rn.
3.4. Понятие края многообразия.
3.5. Касательная плоскость и касательное пространство в точке многообразия.
3.6. Множества, задаваемые системой уравнений.
§4. Площадь k-мерного многообразия.
4.1. Меры на k-мерных плоскостях.
4.2. Определение площади k-мерного многообразия.
§5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях.
5.1. Определение понятия внешней дифференциальной формы.
5.2. Понятия ориентации и ориентируемого многообразия.
5.3. Индуцированная ориентация края многообразия.
5.4. Пример неориентируемого многообразия.
§6. Обобщенная интегральная теорема Стокса.
6.1. Лемма о разбиении единицы.
6.2. Определение интеграла по произвольному k-мерному многообразию.
6.3. Обобщенная интегральная теорема Стокса.
6.4. Интегральные формулы Остроградского и Гаусса.
6.5. Общая теорема Брауэра о неподвижной точке.
Задачи.
Заключение.
Список основных обозначений.
Предметный указатель.
Именной указатель.
Содержание предыдущих книг КМА.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс математического анализа, часть 2, книга 2, Решетняк Ю.Г., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Решетняк