Линейная алгебра и многомерная геометрия, Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., 2005

Линейная алгебра и многомерная геометрия, Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., 2005.

   Предметом книги является объединенный курс линейной алгебры и многомерной аналитической геометрии. Главное место в ней занимают основы теории конечномерных линейных пространств и линейных преобразований. В книге изложена тензорная алгебра и на соответствующих примерах показаны ее приложения. На примере групп преобразований читатель познакомится с элементами теории групп. В последней главе дастся введение в проективную геометрию.
Книга рассчитана на студентов механико-математических факультетов университетов. Она может быть полезна студентам втузов, инженерам и научным работникам разных специальностей, изучающим или использующим методы линейной алгебры и многомерной геометрии. В течение многих лет книга являлась основным учебником для вузов и имела гриф учебника Министерства высшего и среднего образования СССР.




Соответствие между комплексными и действительными пространствами.
Конечномерные комплексные и действительные линейные пространства находятся в некотором соотношении, смысл которого будет сейчас выяснен. Начнем с рассмотрения примера.

Геометрические векторы, расположенные на одной прямой, образуют одномерное действительное линейное пространство. Это связано с тем фактом, что посредством умножения на действительное число произвольный ненулевой вектор можно преобразовать в любой другой коллинеарный ему вектор.

Геометрические векторы, расположенные на плоскости, образуют двумерное действительное пространство. Здесь уже нельзя фиксированный вектор преобразовать путем умножения в любой другой. Запас действительных множителей слишком мал но сравнению с разнообразием векторов, входящих в это пространство, и потому два вектора могут оказаться линейно независимыми.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Введение.
Глава I. Линейные пространства.
§1. Аксиомы линейного пространства.
§2. Примеры линейных пространств.
§3. Простейшие следствия из аксиом линейного пространства.
§4. Линейная комбинация. Линейная зависимость.
§5. Лемма о базисном миноре.
§6. Основная лемма о двух системах векторов.
§7. Ранг матрицы.
§8. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Базис.
§9. Линейные операции в координатах.
§10. Изоморфизм линейных пространств.
§11. Соответствие между комплексными и действительными пространствами.
§12. Линейное подпространство.
§13. Линейная оболочка.
§14. Сумма подпространств. Прямая сумма.
Глава II. Линейные преобразования переменных. Преобразования координат.
§1. Сокращенная запись суммирования.
§2. Линейное преобразование переменных. Произведение линейных преобразований переменных и произведение матриц.
§3. Квадратные матрицы и невырожденные преобразования.
§4. Ранг произведения матриц.
§5. Преобразование координат при изменении базиса.
Глава III. Системы линейных уравнений. Плоскости в аффинном пространстве.
§1. Аффинное пространство.
§2. Аффинные координаты.
§3. Плоскости.
§4. Системы уравнений нерпой степени.
§5. Однородные системы.
§6. Неоднородные системы.
§7. Взаимное расположение плоскостей.
§8. Системы линейных неравенств и выпуклые многогранники.
Глава IV. Линейные, билинейные и квадратичные формы.
§1. Линейные формы.
§2. Билинейные формы.
§3. Матрица билинейной формы.
§4. Квадратичные формы.
§5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
§6. Нормальный вид квадратичной формы.
§7. Закон инерции квадратичных форм.
§8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.
§9. Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы.
§10. Определитель Грама. Неравенство Коши Буняковского.
§11. Нулевое подпространство билинейной и квадратичной формы.
§12. Нулевой конус квадратичной формы.
§13. Простейшие примеры нулевых конусов квадратичных форм.
Глава V. Тензорная алгебра.
§1. Взаимные базисы. Контравариантные и ковариантные векторы.
§2. Тензорное произведение линейных пространств.
§3. Базис в тензорном произведении. Координаты тензора.
§4. Тензоры билинейных форм.
§5. Многовалентные тензоры. Произведение тензоров.
§6. Координаты многовалентных тензоров.
§7. Полилинейные формы и их тензоры.
§8. Симметрирование и альтернирование. Косые формы
§9. Второй вариант изложении понятия тензорного произведении двух линейных пространств.
Глава VI. Понятие группы и некоторые его приложения.
§1. Группы и подгруппы. Распределение базисов на классы поданной подгруппе матриц. Ориентация.
§2. Группы преобразований. Изоморфизм и гомоморфизм групп.
§3. Инварианты. Осевые инварианты. Псевдоинварианты.
§4. Тензорные величины.
§5. Ориентированный объем параллелепипеда. Дискриминантный тензор.
Глава VII. Линейные преобразования линейных пространств.
§1. Общие сведения.
§2. Линейное преобразование как тензор.
§3. Геометрический смысл ранга и определителя линейного преобразования. Группа невырожденных линейных преобразований.
§4. Инвариантные подпространства.
§5. Примеры линейных преобразований.
§6. Собственные векторы и характеристический многочлен преобразования.
§7. Основные теоремы о характеристическом многочлене и собственных век торах.
§8. Нильпотентные преобразования. Общая структура вырожденных преобразований.
§9. Канонический базис нильпотентного преобразования.
§10. Приведение матрицы преобразования к жордановой нормальной форме.
§11. Преобразования простой структуры.
§12. Эквивалентность матриц.
§13. Формула Гамильтона-Кэли.
Глава VIII. Пространства с квадратичной метрикой.
§1. Скалярное произведение.
§2. Норма вектора.
§3. Ортонормированные базисы.
§4. Ортогональная проекция. Ортогонализация.
§5. Метрический изоморфизм.
§6. k-ортогональные матрицы и k-ортогональные группы.
§7. Группа евклидовых поворотов.
§8. Группа гиперболических поворотов.
§9. Тензорная алгебра в пространствах с квадратичной метрикой.
§10. Уравнение гиперплоскости в пространстве с квадратичной метрикой.
§11. Евклидово пространство. Ортогональные матрицы. Ортогональная группа.
§12. Нормальное уравнение гиперплоскости в евклидовом пространстве.
§13. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве. Дискриминантный тензор. Векторное произведение.
Глава IX. Линейные преобразования евклидова пространства.
§1. Сопряженное преобразование.
§2. Лемма о характеристических корнях симметричной матрицы.
§3. Самосопряженные преобразования.
§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе.
§5. Совместное приведение к каноническому виду двух квадратичных форм.
§6. Кососопряженные преобразования.
§7. Изометричные преобразования.
§8. Канонический вид изометричного преобразования.
§11. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.
§10. Кривизна и кручение пространственной кривой.
§11. Разложение произвольного линейного преобразования в произведение самосопряженного и изометричного преобразований.
§12. Приложения к теории упругости. Тензор деформаций и тензор напряжений.
Глава X. Поливекторы и внешние формы.
§1. Альтернация.
§2. Поливекторы. Внешнее произведение.
§3. Бивекторы.
§4. Простые поливекторы.
§5. Векторное произведение.
§6. Внешние формы и действия над ними.
§7. Внешние формы и ковариантные поливекторы.
§8. Внешние формы в трехмерном евклидовом пространстве.
Глава XI. Гиперповерхности второго порядка.
§1. Общее уравнение гиперповерхности второго порядка
§2. Изменение левой части уравнения при переносе начала координат.
§3. Изменение левой части уравнения при изменении ортонормированного базиса.
§4. Центр гиперповерхности второго порядка.
§5. Приведение к каноническому виду общего уравнения гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве.
§6. Классификация гиперповерхностей второго порядка в евклидовом пространстве.
§7. Аффинные преобразования.
§8. Аффинная классификация гиперповерхностей второго порядка.
§9. Пересечение прямой второго порядка. Асимптотические направления.
§10. Сопряженные направления.
Глава XII. Проективное пространство.
§1. Однородные координаты в аффинном пространстве. Бесконечно удаленные точки.
§2. Понятие проективного пространства.
§3. Связка плоскостей в аффинном пространстве.
§4. Центральное проектирование.
§5. Проективная эквивалентность фигур.
§б. Проективная классификация гиперповерхностей второго порядка.
§7. Пересечение гиперповерхности второго порядка и прямой. Поляры.
Приложение 1. Доказательство теоремы о классификации линейных величин.
Приложение 2. Эрмитовы формы. Унитарное пространство.. Список литературы.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Линейная алгебра и многомерная геометрия, Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., 2005 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Ефимов :: Розендорн