Основы математического анализа, том 2, Фихтенгольц Г.М., 1968

Основы математического анализа, Том 2, Фихтенгольц Г.М., 1968.

«Основы математического анализа» задуманы как учебник анализа для студентов первого и второго курсов математических отделения университетов; в соответствии с этим и книга делится на два тома. При составлении ее был широко использован мой трехтомный «Курс дифференциального и интегрального исчисления», но содержащийся в нем материал подвергся сокращению и переработке в целях приближения книги к официальной программе по математическому анализу и к фактическим возможностям лекционного курса.




СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ.
Принцип сходимости. Обратимся к вопросу о сходимости рядов, члены которых могут иметь произвольные знаки. Мы знаем [п°234], что — по самому определению — вопрос о сходимости ряда
∑_^°°n-1а_n = a₁+а₂+...+а_n+а_n+1+...+а_n+m+...
тождествен с вопросом о существовании конечного предела для последовательности частичных сумм А₁, А₂,..., А_n, A_n+1, ..., A_n+m,...    
В п°52 был установлен принцип сходимости для последовательности, дающий общее условие, необходимое и достаточное для существования такого предела. Перефразируя этот принцип применительно к последовательности (1), можно теперь сформулировать его так:
Для того чтобы ряд (А) сходился, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу ε>0 отвечал такой номер N, чтобы при n>N неравенство |А_n+m-A_n| = |a_n+1 + an+2 +... + a_n+m|< ε
выполнялось, каково бы ни было m = 1, 2, 3, ... *). (Здесь n+m играет роль второго номера n' в п°52, который не зависит от n и, без умаления общности, может быть взят большим, чем n.)
Если, предполагая ряд сходящимся, в неравенстве (2), в частности, положить m=1, то получим:
|a_n+1| < ε (при n > N), так что a_n+1→0 или (что то же) аn→0, и мы возвращаемся к необходимому условию п°235,5°.

Купить .








Теги: учебник по математике :: математика :: Фихтенгольц