Линейная алгебра, Теоремы и алгоритмы, Яцкин Н.И., 2008

Линейная алгебра, Теоремы и алгоритмы, Яцкин Н.И., 2008.

Излагаются основы теории и приводятся указания к практическим и лабораторным занятиям по курсу алгебры и геометрии в рамках следующих тем: линейные пространства и линейные отображения, спектральная теория для линейных операторов, линейные, билинейные и квадратичные формы.

Пособие предназначено для студентов ВУЗов, обучающихся по направлению «Математика. Компьютерные науки».





ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. БАЗИСЫ И РАЗМЕРНОСТИ
§ 1. Аксиомы линейного пространства над полем. Примеры линейных пространств. Линейные подпространства. Линейные отображения
1.1. Аксиомы ПОЛЯ
1.2. Аксиомы линейного пространства
1.3. Арифметические линейные пространства
1.4. Другие примеры конкретных линейных пространств
1.5. Линейные подпространства
1.6. Линейные отображения
1.7.* Пример линейного пространства над полем F2
§ 2. Системы векторов в линейных пространствах и их линейные оболочки. Порождающие системы векторов. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства
2.1. Системы векторов в линейном пространстве и их линейные оболочки
2.2.* Линейные оболочки подмножеств в линейных пространствах
2.3. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства
§ 3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
3.1. Понятие линейно зависимой (линейно независимой) с.в
3.2. Свойство единственности разложения вектора по линейно независимой с.в
3.3.* Понятие линейной зависимости (независимости) для подмножеств в линейном пространстве
3.4. Линейно независимые системы векторов в функциональных пространствах
§ 4. Базисы в линейных пространствах; четыре способа характеризации; теорема существования
4.1. Определение базиса в линейном пространстве
4.2. Четыре способа характеризации базисов
4.3. Теорема существования базиса для к.л.п
4.4.* Алгебраические базисы в произвольных линейных пространствах (базисы Гамеля)
4.5.* Понятие о топологических базисах
§ 5. Равномощность базисов. Размерность линейного пространства. Продолжение базисов
5.1. Оценка количества векторов в линейно независимой с.в
5.2. Характеризация к.л.п. в терминах линейно независимых с.в. Конечномерность подпространств в к.л.п
5.3. Равномощность всех базисов и понятие размерности для к.л.п
5.4. Продолжение базисов
5.5. Свойство строгой монотонности размерности
§ 6. Основная теорема о линейных отображениях. Теорема об изоморфизме. Координатный изоморфизм
6.1. Основная теорема о линейных отображениях к.л.п
6.2. Свойства линейных изоморфизмов
6.3. Теорема об изоморфизме для к.л.п
6.4. Координатный изоморфизм к.л.п. на арифметическое линейное пространство
§ 7. Матрица перехода от одного базиса к другому. Изменение координатного столбца вектора при замене базиса
7.1. Матрица перехода от одного базиса в к.л.п. к другому. Свойства матриц перехода
7.2. Изменение координатного столбца вектора при замене базиса
7.3. Задачи на вычисление матриц перехода и пересчет координатных столбцов при замене базисов
7.4. Применение системы Maple для решения задач, связанных с заменой базисов
§ 8. Сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана
8.1. Линейные подпространства в к.л.п. и действия над ними
8.2. Сумма и пересечение конечномерных линейных подпространств. Формула Грассмана
§ 9. Прямые суммы и прямые дополнения
9.1. Внутренняя прямая сумма линейных подпространств. Критерий прямизны
9.2. Прямые дополнения к линейному подпространству
9.3. Полные прямые суммы. Операторы вложения и проектирования
9.4. Внешняя прямая сумма линейных пространств
§ 10. Алгоритмы построения базисов в линейных подпространствах конечномерных линейных пространств
10.1. Два способа задания линейных подпространств и алгоритмы построения базисов в них
10.2. Алгоритм продолжения базиса
10.3. Алгоритмы построения базисов в сумме и пересечении линейных подпространств
§ 11. Примеры решения задач на построение бсізисов в линейных подпространствах
11.1. Типовой расчет по теме “Базисы в подпространствах”
11.2. Особые случаи расположения подпространств в расчете ТР1
11.3. Пакет Маріе-процедур для решения ТР1
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 12. Алгебраические действия над линейными отображениями. Матрица линейного отображения
12.1. Алгебраические действия над линейными отображениями
12.2. Матрица линейного отображения. Изоморфизмы между линейными пространствами линейных операторов и матриц
12.3. Матрица для композиции линейных отображений. Теорема об изоморфизме для алгебраических систем линейных операторов и матриц
12.4.* Арифметизация (“оцифровка”) линейных операторов
12.5. Примеры вычисления матриц линейных отображений
§ 13. Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Эквивалентные матрицы. Подобные матрицы
13.1. Замена базисов и преобразование матрицы линейного отображения
13.2.* Изменение “оцифровки” для линейного оператора при замене базисов
13.3. Эквивалентные матрицы
13.4. Примеры пересчета матриц линейных отображений
13.5. Линейные эндоморфизмы и их матрицы
13.6. Подобные квадратные матрицы
13.7. Примеры пересчета матриц л.э
13.8.* Оператор разностного дифференцирования
13.9. Определитель и след для линейного эндоморфизма
§ 14. Образ и ядро, ранг и дефект линейного отобргіжения
14.1. Отображения множеств, образы и прообразы подмножеств
14.2. Образы и прообразы линейных подпространств при линейных отображениях
14.3. Алгоритмы построения базисов в ядре и образе линейного отображения
§ 15. Теоремы о линейных гомоморфизмах
15.1. Первая теорема о линейных гомоморфизмах
15.2. Вторая теорема о линейных гомоморфизмах
15.3. Критерии эпи-(моно-, изо-)морфности
15.4. Критерии обратимости (необратимости) линейных эндоморфизмов
Глава 3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 16. Собственные значения (спектр) и собственные подпространства для линейного эндоморфизма
16.1. Определение собственных значений, собственных векторов и собственных подпространств для линейного эндоморфизма
16.2. Примеры отыскания спектра и собственных подпространств
§ 17. Характеристический многочлен и характеристические корни для линейного эндоморфизма
17.1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен
17.2. Коэффициенты характеристического многочлена
17.3. Корни характеристического многочлена
17.4. Алгебраические кратности собственных значений
§ 18. Алгоритм отыскания спектра и собственных подпространств для линейного эндоморфизма
18.1. Арифметизация собственных подпространств
18.2. Геометрические кратности собственных значений
18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и собственных подпространств для л.э
18.4. Примеры отыскания спектра и базисов в собственных подпространствах
§ 19. Свойства собственных подпространств
19.1. Подпространства, инвариантные относительно л.э
19.2. Инвариантность собственных подпространств
19.3. Независимость в совокупности собственных подпространств л.э.
§ 20. Линейные эндоморфизмы в прямой сумме и их матрицы
20.1. Операторы вложения и проектирования в полной прямой сумме и их матрицы
20.2. Полные прямые суммы и фильтрации
20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сумме, и ее блочное строение
20.4.* Умножение блочных матриц
20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвариантности фильтрации
§ 21. Диагонализируемые линейные эндоморфизмы 
21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эндоморфизмов
21.2. Диагонализируемость на инвариантном подпространстве
21.3. Критерий диагонализируемости линейного эндоморфизма
21.4. Диагонализируемость операторов и диагонализируемость квадратных матриц
21.5. Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) с простым спектром
21.6. Примеры недиагонализируемых л.э
21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизма на диагонализируемость
§ 16. Собственные значения (спектр) и собственные подпространства для линейного эндоморфизма
16.1. Определение собственных значений, собственных векторов и собственных подпространств для линейного эндоморфизма
16.2. Примеры отыскания спектра и собственных подпространств
§ 17. Характеристический многочлен и характеристические корни для линейного эндоморфизма
17.1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен
17.2. Коэффициенты характеристического многочлена
17.3. Корни характеристического многочлена
17.4. Алгебраические кратности собственных значений
§ 18. Алгоритм отыскания спектра и собственных подпространств для линейного эндоморфизма
18.1. Арифметизация собственных подпространств
18.2. Геометрические кратности собственных значений
18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и собственных подпространств для л.э
18.4. Примеры отыскания спектра и базисов в собственных подпространствах
§ 19. Свойства собственных подпространств
19.1. Подпространства, инвариантные относительно л.э
19.2. Инвариантность собственных подпространств
19.3. Независимость в совокупности собственных подпространств л.э
§ 20. Линейные эндоморфизмы в прямой сумме и их матрицы
20.1. Операторы вложения и проектирования в полной прямой сумме и их матрицы
20.2. Полные прямые суммы и фильтрации
20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сумме, и ее блочное строение
20.4.* Умножение блочных матриц
20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвариантности фильтрации
§ 21. Диагонализируемые линейные эндоморфизмы
21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эндоморфизмов
21.2. Диагонализируемость на инвариантном подпространстве
21.3. Критерий диагонализируемости линейного эндоморфизма
21.4. Диагонализируемость операторов и диагонализируемость квадратных матриц
21.5. Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) с простым спектром
21.6. Примеры недиагонализируемых л.э
21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизма на диагонализируемость
§ 22. Свойства характеристического многочлена
22.1. Характеристический многочлен для сужения л.э. на его инвариантное подпространство
22.2. Неравенства для геометрических и алгебраических кратностей собственных значений
22.3.* Собственная сумма и блочная структура для л.э
§ 23. Итегрированные ядра и образы, дефекты и ранги. Теорема о стабилизации
23.1. Итерированные ядра и образы, дефекты и ранги для л.э
23.2. Теорема о стабилизации для л.э
23.3. Стабильное ядро и стабильный образ; их взаимная дополнительность
23.4. Теорема о стабилизации в случае нильпотентного л.э
§ 24. Приращения итерированных дефектов. Теорема Фробениуса. Вторые приращения дефектов
24.1. Приращения итерированных дефектов
24.2. Теорема Фробениуса
24.3. Вторые приращения итерированных дефектов
§ 25. Жорданов базис в стабильном ядре линейного эндоморфизма. Малая теорема Жордана
25.1. Понятие жорданова базиса для л.э
25.2. Базисы в стабильном ядре л.э., организованные в виде столбчатых диаграмм
25.3. Малая теорема Жордана
25.4. Стабильный дефект как алгебраическая кратность нулевого собственного значения
25.5. Жорданов базис для нильпотентного л.э
25.6. Алгоритм построения жорданова базиса в стабильном ядре л.э.
§ 26. Корневые подпространства для линейного эндоморфизма .
26.1. Корневые подпространства и корневые векторы
26.2. Инвариантность корневых подпространств
26.3.* Композиция многочленов. Сдвиг аргумента у многочлена
26.4. Размерность корневого подпространства
26.5. Жорданов базис в корневом подпространстве л.э
26.6. Алгоритм построения жорданова базиса в корневом подпространстве
§ 27. Корневая сумма. Большая теорема Ж^ордана
27.1. Независимость в совокупности корневых подпространств для л.э
27.2. Жорданов базис в корневой сумме. Большая теорема Жордана .
27.3. Жорданова нормальная форма и критерий подобия для квадратных матриц
27.4.* Комплексификация и овеществление. Обобщенная ж.н.ф. для действительных матриц
§ 28. Алгоритм построения жорданова базиса для линейного эндоморфизма
28.1. Обзор ранее изученых алгоритмов спектральной теории л.э
28.2. Алгоритм построения (частично) жорданова базиса для л.э
28.3. Типовой расчет по теме “Жорданов базис для линейного эндоморфизма”
28.4. Особые случаи в задаче о построении жордановых базисов
28.5. Отыскание ж.н.ф. матрицы с помощью системы Maple
28.6. “Процедура-сценарий” jrd для решения задач ТР2
§ 29. Многочлены от линейных эндоморфизмов и квадратных матриц. Аннулирующие многочлены
29.1. Значение многочлена от линейного эндоморфизма (от квадратной матрицы)
29.2. Аннулирующие многочлены для л.э. и для квадратных матриц
29.3. Теорема Гамильтона — Кэли
29.4.* Функции от матриц
§ 30.* Каноническая форма Смита для полиномиальной матрицы и ее применения
30.1. Матрицы над кольцом многочленов и алгебраические действия над ними
30.2. Каноническая форма Смита и эквивалентность полиномиальных матриц
30.3. Квадратные матрицы над кольцом многочленов и их представление в виде многочленов с матричными коэффициентами
30.4. Подобие квадратных матриц (над полем) и эквивалентность их характеристических матриц (над кольцом многочленов)
30.5. Инвариантные многочлены и элементарные делители для квадратных матриц над полем. Критерий подобия
30.6. Второй способ приведения квадратной матрицы к ж.н.ф
Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НА КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 31. Линейные формы на конечномерном линейном пространстве. Двойственное линейное пространство
31.1. Понятие линейной формы
31.2. Матрица-строка и координатное выражение для линейной формы
31.3. Понятие двойственного (сопряженного) линейного пространства. Двойственный (сопряженный) базис
31.4. Влияние замены базиса на линейные формы
§ 32. Теория двойственности
32.1. Второе двойственное пространство. Канонический изоморфизм к.л.п. на его второе двойственное
32.2. Аннуляторы подмножеств и их свойства
32.3. Аннуляторы линейных подпространств
32.4. Соотношения двойственности
§ 33. Двойственный линейный оператор. Теорема Фредгольма
33.1. Понятие двойственного линейного оператора
33.2. Матрица двойственного оператора
33.3. Теорема Фредгольма
33.4.* Неформальные рассуждения о природе двойственности
§ 34. Билинейные формы и их матрицы
34.1. Понятие билинейной формы на линейном пространстве
34.2. Матрица билинейной формы
34.3. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса. Конгруэнтные матрицы
34.4. Ранг билинейной формы. Невырожденные б.ф
34.5. Симметрические и антисимметрические б.ф
34.6.* Два линейных гомоморфизма линейного пространства в двойственное, связанные с б.ф
§ 35. Симметрические билинейные и квадратичные формы. Формула поляризации
35.1. Понятие квадратичной формы. Формула поляризации
35.2. Матрица и координатная запись для квадратичной формы
35.3. Диагонализирующие базисы для симметрических билинейных (квадратичных) форм
§ 36. Диагонализация по Лагранжу симметрических билинейных (квадратичных) форм
36.1. Алгоритм Лагранжа диагонализации с.б.ф. (кв.ф.)
36.2. Скелетный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над алгебраически замкнутым полем
§ 37. Диагонализация по Якоби симметрических билинейных (квадратичных) форм. Метод Грам — ГПмидта
37.1. Метод Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.)
37.2. Алгоритм Грама — Шмидта диагонализации с.б.ф. (кв.ф.)
§ 38. Симметрические билинейные (квадратичные) формы над полем действительных чисел. Сигнатура. Теорема инерции
38.1. Нормальный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над полем М
38.2. Индексы инерции для с.б.ф. (кв.ф.) над полем М. Теорема инерции
38.3. Знакоопределенные и знакопеременные с.б.ф. (кв.ф.) над полем М
38.4. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности с.б.ф. (кв.ф.)
38.5.* Исследование функций на экстремум и квадратичные формы
§ 39. Примеры решения задач на исследование симметрических билинейных (квадратичных) форм
39.1. Типовой расчет по теме “Диагонализация симметрических билинейных (квадратичных) форм”
39.2. Пакет Маріе-процедур для решения ТРЗ
§ 40.* Одновременная диагонализация двух симметрических билинейных (квадратичных) форм
40.1. К.л.и. с фиксированной положительно определенной с.б.ф.; ортогональные и ортонормированные базисы
40.2. Ортогональные матрицы
40.3. Линейный изоморфизм между пространствами л.э. и б.ф., определяемый с помощью невырожденной с.б.ф
40.4. Самосопряженные л.э. и их матрицы
40.5. Спектральные свойства самососопряженных линейных эндоморфизмов
40.6. Ортогональная диагонализируемость самосопряженного л.э
40.7. Ортогональная диагонализация (приведение к главным осям) с.б.ф. в евклидовом пространстве
40.8. Полулинейные, полуторалинейные и эрмитовы формы
Список рекомендуемой литературы
Список используемых сокращений
Приложение 1. Коды Маріе-процедур
Приложение 2. Иллюстрации
Приложение 3. Столбчатые диаграммы
Приложение 4. Содержание [Ai] — первой части курса.


Операции.
Сложению (объединению) множеств в математической логике соответствует дизъюнкция (V) высказываний, выражаемая логической связкой или. Элемент принадлежит объединению двух множеств тогда и только тогда, когда он принадлежит или первому множеству, или второму (причем не исключается его принадлежность обоим множествам). Это выражают фразой: "логическое или не является разделительным".

Умножению (пересечению) соответствует конъюнкция (Л), выражаемая связкой и. Элемент принадлежит пересечению тогда и только тогда, когда он принадлежит и первому множеству, и второму.

Дополнению множества отвечает отрицание высказывания, выражаемое частицей не. Элемент принадлежит дополнению некоторого подмножества (в заданном основном множестве) тогда и только тогда, когда он не принадлежит этому подмножеству.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Линейная алгебра, Теоремы и алгоритмы, Яцкин Н.И., 2008 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Линейная алгебра, Теоремы и алгоритмы, Яцкин Н.И., 2008 - pdf - depositfiles.

Скачать книгу Линейная алгебра, Теоремы и алгоритмы, Яцкин Н.И., 2008 - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: математика :: линейная алгебра :: Яцкин