Курс дифференциального и интегрального исчисления, Фихтенгольц Г.М.

Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. - Том 1 - 2003.

Фундаментальный учебник по математическому анализу, выдержавший множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой - простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами, иллюстрирующими теорию. "Курс..." предназначен для студентов университетов, педагогических и технических вузов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий. Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и получить наиболее важные практические навыки. "Курс..." высоко ценится математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть которых невозможно найти в других книгах на русском языке. Первое издание вышло в 1948 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 11
Введение ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1 Область рациональных чисел
1 Предварительные замечания 13
2 Упорядочение области рациональных чисел 14
3 Сложение и вычитание рациональных чисел 15
4 Умножение и деление рациональных чисел 17
5 Аксиома Архимеда 19
§ 2 Введение иррациональных чисел Упорядочение области вещественных чисел
6 Определение иррационального числа 20
7 Упорядочение области вещественных чисел 23
8 Вспомогательные предложения 24
9 Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью 25
10 Непрерывность области вещественных чисел 28
11 Границы числовых множеств 30
§ 3 Арифметические действия над вещественными числами
12 Определение суммы вещественных чисел 33
13 Свойства сложения 34
14 Определение произведения вещественных чисел 36
15 Свойства умножения 38
16 Заключение 40
17 Абсолютные величины 40
§ 4 Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
18 Существование корня Степень с рациональным показателем 41
19 Степень с любым вещественным показателем 43
20 Логарифмы 46
21 Измерение отрезков 47
Глава первая ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1 Варианта и ее предел
22 Переменная величина, варианта 50
23 Предел варианты 54
24 Бесконечно малые величины 55
25 Примеры 57
26 Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел 61
27 Бесконечно большие величины 63
§ 2 Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов
28 Предельный переход в равенстве и неравенстве 65
29 Леммы о бесконечно малых 67
30 Арифметические операции над переменными 68
31 Неопределенные выражения 70
32 Примеры на нахождение пределов 73
33 Теорема Штольца и ее применения 78
§ 3 Монотонная варианта
34 Предел монотонной варианты 81
35 Примеры 83
36 Число е 88
37 Приближенное вычисление числа е 90
38 Лемма о вложенных промежутках 94
§ 4 Принцип сходимости Частичные пределы
39 Принцип сходимости 96
40 Частичные последовательности и частичные пределы 99
41 Лемма Больцано - Вейерштрасса 101
42 Наибольший и наименьший пределы 103
Глава вторая ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1 Понятие функции
43 Переменная и область ее изменения 107
44 Функциональная зависимость между переменными Примеры 108
45 Определение понятия функции 110
46 Аналитический способ задания функции 113
47 График функции 116
48 Важнейшие классы функций 118
49 Понятие обратной функции 124
50 Обратные тригонометрические функции 126
51 Суперпозиция функций Заключительные замечания 131
§ 2 Предел функции
52 Определение предела функции 132
53 Сведение к случаю варианты 134
54 Примеры 137
55 Распространение теории пределов 145
56 Примеры 148
57 Предел монотонной функции 151
58 Общий признак Больцано-Коши 152
59 Наибольший и наименьший пределы функции 154
§ 3 Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин
60 Сравнение бесконечно малых 154
61 Шкала бесконечно малых 156
62 Эквивалентные бесконечно малые 157
63 Выделение главной части 159
64 Задачи 161
65 Классификация бесконечно больших 163
§ 4 Непрерывность (и разрывы) функций
66 Определение непрерывности функции в точке 164
67 Арифметические операции над непрерывными функциями 167
68 Примеры непрерывных функций 167
69 Односторонняя непрерывность Классификация разрывов 169
70 Примеры различных функций 171
71 Непрерывность и разрывы монотонной функции 173
72 Непрерывность элементарных функций 174
73 Суперпозиция непрерывных функций 175
74 Решение одного функционального уравнения 176
75 Функциональная характеристика показательной, логарифмической
и степенной функций 178
76 Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов 180
77 Использование непрерывности функций для вычисления пределов 182
78 Степенно-показательные выражения 185
79 Примеры 186
§ 5 Свойства непрерывных функций
80 Теорема об обращении функции в нуль 188
81 Применение к решению уравнений 190
82 Теорема о промежуточном значении 191
83 Существование обратной функции 193
84 Теорема об ограниченности функции 195
85 Наибольшее и наименьшее значения функции 196
86 Понятие равномерной непрерывности 199
87 Теорема Кантора 201
88 Лемма Бореля 202
89 Новые доказательства основных теорем 204
Глава третья ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1 Производная и ее вычисление
90 Задача о вычислении скорости движущейся точки 208
91 Задача о проведении касательной к кривой 209
92 Определение производной 212
93 Примеры вычисления производных 216
94 Производная обратной функции 219
95 Сводка формул для производных 221
96 Формула для приращения функции 222
97 Простейшие правила вычисления производных 223
98 Производная сложной функции 226
99 Примеры 227
100 Односторонние производные 234
101 Бесконечные производные 235
102 Дальнейшие примеры особых случаев 236
§ 2 Дифференциал
103 Определение дифференциала 237
104 Связь между дифференцируемостью и существованием производной 238
105 Основные формулы и правила дифференцирования 241
106 Инвариантность формы дифференциала 242
107 Дифференциалы как источник приближенных формул 245
108 Применение дифференциалов при оценке погрешностей 247
§ 3 Основные теоремы дифференциального исчисления
109 Теорема Ферма 249
110 Теорема Дарбу 251
111 Теорема Ролля 252
112 Формула Лагранжа 253
113 Предел производной 256
114 Формула Коши 257
§ 4 Производные и дифференциалы высших порядков
115 Определение производных высших порядков 259
116 Общие формулы для производных любого порядка 261
117 Формула Лейбница 265
118 Примеры 267
119 Дифференциалы высших порядков 270
120 Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков 271
121 Параметрическое дифференцирование 273
122 Конечные разности 274
§ 5 Формула Тейлора
123 Формула Тейлора для многочлена 276
124 Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано 278
125 Примеры 282
126 Другие формы дополнительного члена 286
127 Приближенные формулы 289
§ 6 Интерполирование
128 Простейшая задача интерполирования Формула Лагранжа 295
129 Дополнительный член формулы Лагранжа 297
130 Интерполирование с кратными узлами Формула Эрмита 298
Глава четвертая
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1 Изучение хода изменения функции
131 Условие постоянства функции 301
132 Условие монотонности функции 303
133 Доказательство неравенств 306
134 Максимумы и минимумы; необходимые условия 310
135 Достаточные условия Первое правило 312
136 Примеры 314
137 Второе правило 318
138 Использование высших производных 320
139 Разыскание наибольших и наименьших значений 323
140 Задачи 324
§ 2 Выпуклые (и вогнутые) функции
141 Определение выпуклой (вогнутой) функции 329
142 Простейшие предложения о выпуклых функциях 330
143 Условия выпуклости функции 333
144 Неравенство Иенсена и его приложения 336
145 Точки перегиба 338
§ 3 Построение графиков функций
146 Постановка задачи 341
147 Схема построения графика Примеры 342
148 Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток Асимптоты 344
149 Примеры 348
§ 4 Раскрытие неопределенностей
150 Неопределенность вида 0//0 351
151 Неопределенность вида ∞/∞ 357
152 Другие виды неопределенностей 359
§ 5 Приближенное решение уравнений
153 Вводные замечания 361
154 Правило пропорциональных частей (метод хорд) 362
155 Правило Ньютона (метод касательных) 366
156 Примеры и упражнения 368
157 Комбинированный метод 373
158 Примеры и упражнения 374
Глава пятая ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1 Основные понятия
159 Функциональная зависимость между переменными Примеры 378
160 Функции двух переменных и области их определения 379
161 Арифметическое n-мерное пространство 383
162 Примеры областей в n-мерном пространстве 387
163 Общее определение открытой и замкнутой области 389
164 Функции n переменных 392
165 Предел функции нескольких переменных 395
166 Сведение к случаю варианты 397
167 Примеры 399
168 Повторные пределы 401
§ 2 Непрерывные функции
169 Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных 404
170 Операции над непрерывными функциями 406
171 Функции, непрерывные в области Теоремы Больцано - Коши 407
172 Лемма Больцано - Вейерштрасса 409
173 Теоремы Вейерштрасса 412
174 Равномерная непрерывность 413
175 Лемма Бореля 415
176 Новые доказательства основных теорем 417
§ 3 Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
177 Частные производные и частные дифференциалы 419
178 Полное приращение функции 422
179 Полный дифференциал 426
180 Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных 428
181 Производные от сложных функций 432
182 Примеры 434
183 Формула конечных приращений 436
184 Производная по заданному направлению 438
185 Инвариантность формы (первого) дифференциала 441
186 Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 443
187 Однородные функции 446
188 Формула Эйлера 448
§ 4 Производные и дифференциалы высших порядков
189 Производные высших порядков 449
190 Теорема о смешанных производных 452
191 Обобщение 456
192 Производные высших порядков от сложной функции 458
193 Дифференциалы высших порядков 459
194 Дифференциалы сложных функций 464
195 Формула Тейлора 465
§ 5 Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения
196 Экстремумы функции нескольких переменных Необходимые условия 468
197 Достаточные условия (случай функции двух переменных) 470
198 Достаточные условия (общий случай) 475
199 Условия отсутствия экстремума 478
200 Наибольшее и наименьшее значения функции Примеры 480
201 Задачи 484
Глава шестая ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1 Формальные свойства функциональных определителей
202 Определение функциональных определителей (якобианов) 494
203 Умножение якобианов 495
204 Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) 497
§ 2 Неявные функции
205 Понятие неявной функции от одной переменной 500
206 Существование неявной функции 502
207 Дифференцируемость неявной функции 505
208 Неявные функции от нескольких переменных 507
209 Вычисление производных неявных функций 515
210 Примеры 519
§ 3 Некоторые приложения теории неявных функций
211 Относительные экстремумы 524
212 Метод неопределенных множителей Лагранжа 527
213 Достаточные для относительного экстремума условия 529
214 Примеры и задачи 530
215 Понятие независимости функций 535
216 Ранг матрицы Якоби 537
§ 4 Замена переменных
217 Функции одной переменной 542
218 Примеры 544
219 Функции нескольких переменных Замена независимых переменных 547
220 Метод вычисления дифференциалов 549
221 Общий случай замены переменных 550
222 Примеры 553
Глава седьмая
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
§ 1 Аналитическое представление кривых и поверхностей
223 Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) 563
224 Примеры 566
225 Кривые механического происхождения 569
226 Кривые на плоскости (в полярных координатах) Примеры 572
227 Поверхности и кривые в пространстве 578
228 Параметрическое представление 580
229 Примеры 582
§ 2 Касательная и касательная плоскость
230 Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 586
231 Примеры 588
232 Касательная в полярных координатах 590
233 Примеры 591
234 Касательная к пространственной кривой Касательная плоскость
к поверхности 593
235 Примеры 598
236 Особые точки плоских кривых 599
237 Случай параметрического задания кривой 605
§ 3 Касание кривых между собой
238 Огибающая семейства кривых 607
239 Примеры 611
240 Характеристические точки 614
241 Порядок касания двух кривых 616
242 Случай неявного задания одной из кривых 619
243 Соприкасающаяся кривая 620
244 Другой подход к соприкасающимся кривым 623
§ 4 Длина плоской кривой
245 Леммы 624
246 Направление на кривой 625
247 Длина кривой Аддитивность длины дуги 627
248 Достаточные условия спрямляемости Дифференциал дуги 629
249 Дуга в роли параметра Положительное направление касательной 633
§ 5 Кривизна плоской кривой
250 Понятие кривизны 637
251 Круг кривизны и радиус кривизны 640
252 Примеры 642
253 Координаты центра кривизны 646
254 Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты 648
255 Свойства эволют и эвольвент 651
256 Разыскивание эвольвент 654
Дополнение ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
257 Случай функции одной переменной 657
258 Постановка задачи для двумерного случая 659
259 Вспомогательные предложения 661
260 Основная теорема о распространении 665
261 Обобщение 666
262 Заключительные замечания 668
Алфавитный указатель 671

Купить - Книгу - Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. .com

Купить - Книгу - Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. .net








Теги: книга :: Фихтенгольц :: дифференциальное исчисление :: интегральное исчисление :: математический анализ :: Том 1 :: скачать :: бесплатно