Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей, Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П., 1978.
Предыстория математической логики.В трехтомной «Истории математики» (ИМ) математическая логика не рассматривалась. Поэтому анализу развития математической логики в XIX в. мы предпошлем краткий обзор ее предшествующей истории.
Первое дошедшее до нас систематическое построение и изложение логики содержат трактаты Аристотеля (384—322 гг. до н. э.), объединенные его комментаторами под общим названием «Органон». В «Органон» входят «Категории» (об именах), «Об истолковании» (о суждениях), «Первая Аналитика» (об умозаключениях), «Вторая Аналитика» (о доказательствах), «Топика» (о доказательстве, опирающемся на положения, представляющиеся вероятными) и примыкающее к ней «Опровержение софистических аргументов». Во «Второй Аналитике» изложена теория доказательств Аристотеля и сформулированы основные требования, предъявляемые к «доказывающей науке», в частности к математике. Подчеркивая строгость логических рассуждений Аристотеля, Лейбниц отметил: «Аристотель был первым, кто писал математически в нематематике» х.
Логика другого стиля, своеобразная логика высказываний, была развита философами мегарской школы, основателем которой был ученик Сократа Евклид из Мегар (ок. 450—380 до и. э.). Учеником Евклида был Евбулит из Милета (IV в. до н. э.), с именем которого связываются известные парадоксы — «Лжец», «Куча». Мегарская школа оканчивается Филоном (ок. 300 до н. э.). Однако примерно в это время учеником Филона Зеноном из Китиопа (ок. 336—264 до н. э.) создается школа стоиков, воспринявших основные идеи и стиль мегариков. Наиболее видным представителем стоиков был Хризипп (ок. 281—208 до н. э.), о котором в свое время говорили, что если бы боги нуждались в логике, то это была бы логика Хризиппа. Дошедшая до пас в отрывках логика мегарской и стоической школ удивительным образом предвосхищает современное исчисление высказываний.
Символическая логика Г. В. Лейбница.Лейбниц понимал логику в самом широком смысле: она не только искусство суждения и доказательства известных истин, как аналитика Аристотеля, во и искусство изобретения и открытия новых истин.
Изучение трудов Аристотеля произвело большое впечатление на молодого Лейбница и оказало влияние на формирование его логических взглядов. Лейбниц высоко ценил силлогистику Аристотеля. Он писал: «...изобретение силлогистической формы — одно из прекраснейших и даже важнейших открытий человеческого духа. Это своего рода универсальная математика, все значение которой еще не достаточно понято» 2.
Однако силлогистика Аристотеля является не единственной формой вывода; существуют и более сложные формы. К таким более сложным формам дедукции Лейбниц относит, например, правила сложения, умножения и перестановки членов пропорций у Евклида. То, что является результатом оперирования по этим правилам, носит достоверный характер, а сам процесс получения результата есть доказательство (argu-menta in forma) 3.
План усовершенствования и построения логики был у Лейбница таков.
Прежде всего нужно проанализировать все понятия, приводя их к сочетаниям наиболее простых понятий; перечень этих простых, неопределяемых понятий составит «алфавит человеческих мыслей». Затем из
этих простых исходных понятий все остальные понятия могут быть получены путем комбинирования. Анализ понятий позволит провести вместе с тем доказательства всех известных истин, т. е. составить своеобразный их свод — «доказательную энциклопедию».
Оглавление.ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава первая МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Глава вторая АЛГЕБРА И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Глава третья ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Глава четвертая ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ЛИТЕРАТУРА (Ф. А. Медведев)
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ (Л. Ф. Лапко)
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать
- pdf - Яндекс.Диск.
