Лекции по дифференциальной геометрии, Тайманов, 2002

Основные понятия теории представлений.
Матричные группы Ли имеют многочисленные приложения и, более того, служат для изучения абстрактных групп посредством теории представлений.
Представлением группы G называется гомоморфизм
р : G → GL(V),
где V — векторное пространство, называющееся пространством представления, и GL(V) — группа его обратимых линейных преобразований. Если dim V < ∞, то представление называется конечномерным и dim V называется степенью представления.

Представление называется вещественным, если GL(V) = GL(n)(= GL(n,R)), и комплексным, если GL(V) = GL(n,С). Если для вещественного конечномерного представления р на V = Rn существует такое невырожденное скалярное произведение, что преобразования р(g) сохраняют его для всех g € G, или, что то же самое, если
p(G) С O(n) C GL(n),
где подгруппа O(n) определена этим скалярным произведением, то представление р называется ортогональным. Конечномерное комплексное представление унитарно, если оно сохраняет невырожденное эрмитово произведение на V = Сn. Для краткости мы будем ортогональные представления также называть унитарными.

Содержание
Предисловие 5
ЧАСТЬ I КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 7
Глава 1. Теория кривых 9
1.1. Основные понятия теории кривых 9
1.2. Кривые на плоскости 12
1.3. Кривые в трехмерном пространстве 15
1.4. Группа ортогональных преобразований 17
Глава 2. Теория поверхностей 23
2.1. Метрики на регулярных поверхностях 23
2.2. Кривизна линии на поверхности 26
2.3. Гауссова кривизна 29
2.4. Деривационные уравнения и теорема Бонне 32
2.5. Теорема Гаусса 38
2.6. Ковариантное дифференцирование и геодезические 39
2.7. Уравнения Эйлера-Лагранжа 44
2.8. Формула Гаусса-Бонне 51
2.9. Минимальные поверхности 59
ЧАСТЬ II. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 63
Глава 3. Гладкие многообразия 65
3.1. Топологические пространства 65
3.2. Гладкие многообразия и отображения 68
3.3. Тензоры 76
3.4. Вложение гладких многообразий в евклидовы пространства 80
Глава 4. Римановы многообразия 82
4.1. Метрический тензор 82
4.2. Аффинная связность и инвариантное дифференцирование 83
4.3. Римановы связности 88
4.4. Кривизна 91
4.5. Геодезические 96
Глава 5. Примеры римановых многообразий и их приложений 103
5.1. Плоскость Лобачевского 103
5.2. Псевдоевклидовы пространства и их приложения
в физике 110
ЧАСТЬ III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 115
Глава 6. Минимальные поверхности и комплексный анализ 117
6.1. Конформная параметризация поверхности 117
6.2. Теория поверхностей в терминах конформного параметра 122
6.3. Представление Вейерштрасса 128
Глава 7. Элементы теории групп Ли 134
7.1. Линейные группы Ли 134
7.2. Алгебры Ли 142
7.3. Геометрия простейших линейных групп 148
Глава 8. Элементы теории представлений 155
8.1. Основные понятия теории представлений 155
8.2. Представления конечных групп 160
8.3. О представлениях компактных групп 169
Литература 174.

Купить.